Continuità, derivabilità e differenziabilità
Allora ho questa funzione $ g(x,y): \{(x^3sin(y)/(x^2+y^2) se (x,y) !=(0,0)),(0 se (x,y)=(0,0)):}$
Prima di tutto il dominio è $RR^2 -{(0,0)} $
Per vedere se la funzione è continua, devo verificare cosa succede nel punto (0,0), cioè se è continua anche in questo punto, quindi faccio il limite, solo che viene una forma indeterminata. Allora procedo in questo modo:
Faccio prima una maggiorazione $|x^3sin(y)/(x^+y^2)| <= (x^3y)/(x^2+y^2)$ e poi trasformo in coordinate polari, mettendo
$ x= tcostheta, y=tsintheta$. Dopo varie maggiorazioni ottengo $ t^2costheta^3sintheta <= t^2 ->\lim_{t \to \0} t^2=0 $
Posso dire allora che la funzione è continua anche in (0,0)
Poi per la derivabilità, trovo che le derivate parziali una volta per x e una volta per y nel punto (0,0) sono entrambe uguali a zero, perchè facendo per esempio la derivata parziale in x = $\lim_{h \to \0} (f(h,0)-f(0,0))/h =\lim_{h\to \0} (0-0)/h=0 $
Infine per la differenziabilità trovo $ \lim_{(h,k) \to \(0,0)} (h^3sin(k))/(h^2+k^2) $, per la stima asintotica ho questo $ \lim_{(h,k) \to \(0,0)} (h^3(k))/(h^2+k^2) $, trasformo in coordinate polare e trovo alla fine $ t^3costheta^3sintheta <= t^3 ->$ $\lim_{t \to \0} t^3=0 $
La conclusione è quindi che la funzione è continua e pure differenziabile.
mm il mio procedimento è giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Prima di tutto il dominio è $RR^2 -{(0,0)} $
Per vedere se la funzione è continua, devo verificare cosa succede nel punto (0,0), cioè se è continua anche in questo punto, quindi faccio il limite, solo che viene una forma indeterminata. Allora procedo in questo modo:
Faccio prima una maggiorazione $|x^3sin(y)/(x^+y^2)| <= (x^3y)/(x^2+y^2)$ e poi trasformo in coordinate polari, mettendo
$ x= tcostheta, y=tsintheta$. Dopo varie maggiorazioni ottengo $ t^2costheta^3sintheta <= t^2 ->\lim_{t \to \0} t^2=0 $
Posso dire allora che la funzione è continua anche in (0,0)
Poi per la derivabilità, trovo che le derivate parziali una volta per x e una volta per y nel punto (0,0) sono entrambe uguali a zero, perchè facendo per esempio la derivata parziale in x = $\lim_{h \to \0} (f(h,0)-f(0,0))/h =\lim_{h\to \0} (0-0)/h=0 $
Infine per la differenziabilità trovo $ \lim_{(h,k) \to \(0,0)} (h^3sin(k))/(h^2+k^2) $, per la stima asintotica ho questo $ \lim_{(h,k) \to \(0,0)} (h^3(k))/(h^2+k^2) $, trasformo in coordinate polare e trovo alla fine $ t^3costheta^3sintheta <= t^3 ->$ $\lim_{t \to \0} t^3=0 $
La conclusione è quindi che la funzione è continua e pure differenziabile.
mm il mio procedimento è giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Non mi convince lo studio della differenziabilità. Stai ricalcolando lo stesso limite di prima. Non è possibile, c'è un errore.
Io ho seguito questa formula $lim_(h,k->(0,0))(f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-hfx(x0,y0)-kfy(x0,y0))/sqrt(h^2+k^2)$
Dove in questo caso lo x0=0 e y0=0 perchè lo calcolo nel punto (0,0).
Andando a sostituire trovo $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k)/ (h^2+k^2))/(sqrt(h^2+k^2)) $, cioè $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(sqrt(h^2+k^2)) $, ed è poi asintotico a $lim_(h,k->(0,0))(h^3(k))/(sqrt(h^2+k^2))$, infine il resto è come ho scritto prima, trasformando quest'ultimo in coordinate polari.
Dove in questo caso lo x0=0 e y0=0 perchè lo calcolo nel punto (0,0).
Andando a sostituire trovo $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k)/ (h^2+k^2))/(sqrt(h^2+k^2)) $, cioè $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(sqrt(h^2+k^2)) $, ed è poi asintotico a $lim_(h,k->(0,0))(h^3(k))/(sqrt(h^2+k^2))$, infine il resto è come ho scritto prima, trasformando quest'ultimo in coordinate polari.
"Lelouko":Sicuro?
$lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k)/ (h^2+k^2))/(sqrt(h^2+k^2)) $, cioè $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(sqrt(h^2+k^2)) $
meh, errore di distrazione, allora dovrebbe essere cosi $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(h^2+k^2)^(3/2) $, dopo la stima asintotica e la trasfomazione in coordinate polari ho $lim_(t->(0)) (t^4costheta^3sintheta)/(t^3) <= tcostheta^3sintheta<=
lim_(t->(0)) t=0 $
lim_(t->(0)) t=0 $
"Lelouko":
meh, errore di distrazione, allora dovrebbe essere cosi $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(h^2+k^2)^(3/2) $, dopo la stima asintotica e la trasfomazione in coordinate polari ho $lim_(t->(0)) (t^4costheta^3sintheta)/(t^3) <= tcostheta^3sintheta<=
lim_(t->(0)) t=0 $
Adesso è corretto, ma non mi piace come hai scritto. Io scriverei così:
$0\le |(t^4(costheta)^3sintheta)/(t^3) |<= t|(costheta)^3sintheta|<=
t ,$
quindi passando al limite per \(t\to 0\) si trova che $lim_(h,k->(0,0)) (h^3sin(k))/(h^2+k^2)^(3/2)=0.$
Nota specialmente il valore assoluto. Se ottieni una stima senza valore assoluto non puoi concludere che qualcosa tende a \(0\). Per esempio, \(-1\le 0\), ma non puoi certamente dire che \(\lim_{x\to 0}( -1) =0\)!!!
"dissonance":
Nota specialmente il valore assoluto. Se ottieni una stima senza valore assoluto non puoi concludere che qualcosa tende a 0. Per esempio, $−1≤0$, ma non puoi certamente dire che $lim_(x->0)(−1)=0!!!$
mm perdonami, ma qui non ti seguo
Faccio un altro esempio più difficile ma probabilmente più comprensibile, paradossalmente. Considera la funzione
\[
f(x)=-1-x^2, \qquad x\in\mathbb R.\]
Affermazione falsa: \(\lim_{x\to 0} f(x)=0.\)
Dimostrazione: Siccome \(-1-x^2\le 0\), abbiamo che \(\lim_{x\to 0} f(x)=0\). \(\square\)
Ti sembra una cavolata? Infatti, lo è. Eppure è esattamente lo stesso argomento che hai usato qui, per concludere che il limite a sinistra è \(0\):
\[
f(x)=-1-x^2, \qquad x\in\mathbb R.\]
Affermazione falsa: \(\lim_{x\to 0} f(x)=0.\)
Dimostrazione: Siccome \(-1-x^2\le 0\), abbiamo che \(\lim_{x\to 0} f(x)=0\). \(\square\)
Ti sembra una cavolata? Infatti, lo è. Eppure è esattamente lo stesso argomento che hai usato qui, per concludere che il limite a sinistra è \(0\):
"Lelouko":
\[\lim_{t\to 0} \frac{ t^4 \cos\theta^3 \sin \theta }{ t^3} \le t \cos\theta^3\sin\theta \le \lim_{t\to 0} t=0\]
mm Ok grazie mille, credo di aver capito adesso.
In realtà avrei un'altra domanda, riguarda questa funzione
$f(x,y)={(x^2arctan(y/x)-y^2arctan(x/y) ,if xy!=0),(0,if xy=0):}$
Be' di questo esercizio è la stessa cosa, solo che mi è venuto un dubbio per la continuità.
In questo caso credo che dovrei controllare in tre punti per capire cosa faccia esattamente la funzione f(x,y), cioè
nei punti $ A=(0,0), B=(x0,0), C=(0,y0)$, dove $x0, y0$ sono dei valori generici rispettivamente della x e della y, e poi devo verificare che la funzione in ognuno dei tre punti faccia zero, oppure sbaglio?
In realtà avrei un'altra domanda, riguarda questa funzione
$f(x,y)={(x^2arctan(y/x)-y^2arctan(x/y) ,if xy!=0),(0,if xy=0):}$
Be' di questo esercizio è la stessa cosa, solo che mi è venuto un dubbio per la continuità.
In questo caso credo che dovrei controllare in tre punti per capire cosa faccia esattamente la funzione f(x,y), cioè
nei punti $ A=(0,0), B=(x0,0), C=(0,y0)$, dove $x0, y0$ sono dei valori generici rispettivamente della x e della y, e poi devo verificare che la funzione in ognuno dei tre punti faccia zero, oppure sbaglio?
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