Continuità derivabilità differenziabilità
Si consideri la funzione $f:RR^2 -> R$ dove:
$f(x,y)=1$ se $xy!=0$
$f(x,y)=0$ se $xy=0$
studiare continuità derivabilità e differenziabilità nell'origine.
Premetto che non mi sono mai trovato a mio agio con questo tipo di esercizi.
Comunque direi:
-continuità
$a=[0,0]$
$lim_(x -> a) f(x,y)=lim_(x->[0,0]) f(x,y)=1 !=f(0,0)=0$
-derivabilità
$f_x(x,y)=y$ e $f_y(x,y)=x$
ammette derivate parziali quindi è derivabile
a senso dire che sono nulle in $(0,0)$?
-differenziabilità
non essendo continua in $(0,0)$ non è neppure differenziabile in tale punto
Prima di tutto è corretto?
Manca qualcosa?
Si può dire meglio?
$f(x,y)=1$ se $xy!=0$
$f(x,y)=0$ se $xy=0$
studiare continuità derivabilità e differenziabilità nell'origine.
Premetto che non mi sono mai trovato a mio agio con questo tipo di esercizi.
Comunque direi:
-continuità
$a=[0,0]$
$lim_(x -> a) f(x,y)=lim_(x->[0,0]) f(x,y)=1 !=f(0,0)=0$
-derivabilità
$f_x(x,y)=y$ e $f_y(x,y)=x$
ammette derivate parziali quindi è derivabile
a senso dire che sono nulle in $(0,0)$?
-differenziabilità
non essendo continua in $(0,0)$ non è neppure differenziabile in tale punto
Prima di tutto è corretto?
Manca qualcosa?
Si può dire meglio?
Risposte
Lo svolgimento della continuità è errato, prova a svolgerlo con la sostituzione [tex]$y=mx : m\in\mathbb{R}$[/tex]. 
La derivabilità non te la saprei controllare se non mi posti il procedimento; in alternativa dovrei farti i conti.
La derivabilità non te la saprei controllare se non mi posti il procedimento; in alternativa dovrei farti i conti.
Come ti dicevo non ho grande dimestichezza con questi esercizi.
Comunque nel caso della continuità o solo cercato di applicare la definizione che ho cioè
sia $f:RR^2->R$ con dominio $X$ contenuto in $RR^n$ e sia $a in X$
se
$lim_(x->a) f(x)=f(a)$
diciamo che $f$ è continua in $a$
adesso $a=(0,0)$ io ho pensato che facendo tendere a zero i termini di $a$ il valore della
funzione resta $1$ ma se lo calcoliamo esattamente in $(0,0)$ allora abbiamo zero.
In sostanza la discontinuità nell'origine in un certo senso si vede.
Per la derivabilità ho le idee più confuse aspetto lumi
Comunque nel caso della continuità o solo cercato di applicare la definizione che ho cioè
sia $f:RR^2->R$ con dominio $X$ contenuto in $RR^n$ e sia $a in X$
se
$lim_(x->a) f(x)=f(a)$
diciamo che $f$ è continua in $a$
adesso $a=(0,0)$ io ho pensato che facendo tendere a zero i termini di $a$ il valore della
funzione resta $1$ ma se lo calcoliamo esattamente in $(0,0)$ allora abbiamo zero.
In sostanza la discontinuità nell'origine in un certo senso si vede.
Per la derivabilità ho le idee più confuse aspetto lumi
Come hai detto tu ad occhio si ha la discontinuità; formalmente ti dicevo che posto [tex]$\forall m\in\mathbb{R},\,y=mx$[/tex] si ha che [tex]$\,\lim_{(x;y)\to(0;0)}f(x;y)=\lim_{x\to0}f(x;mx)=\begin{cases}1\iff m\ne0\\0\iff m=0\end{cases}$[/tex] ovvero tale limite non esiste: perché?
Poi possiamo alla derivabilità!
Poi possiamo alla derivabilità!
Non esiste perché dovremmo trovare una successione di vettori ($X^k$) appartenenti a $RR^2$
tali che per $X^k$ che converge ad $a$, il nostro punto in analisi,
la corrispondente successione delle immagini $f(X^k)$ deve convergere a $b$ dove per noi
$b in RR$.
Mentre nel nostro caso per ogni $X^k$ la successione delle immagini non converge mai
Giusto?
Ripeto sulla derivabilità non saprei dire molto
tali che per $X^k$ che converge ad $a$, il nostro punto in analisi,
la corrispondente successione delle immagini $f(X^k)$ deve convergere a $b$ dove per noi
$b in RR$.
Mentre nel nostro caso per ogni $X^k$ la successione delle immagini non converge mai
Giusto?
Ripeto sulla derivabilità non saprei dire molto
No, le varie successioni convergono a 2 limiti distinti quindi...
Basta leggere il limite che t'ho scritto!
Basta leggere il limite che t'ho scritto!
Come no quella ho scritto non è, anche se detta male, la definizione di limite.
Poi il limite se esiste è unico non possono esistere due limiti! o sbaglio
forse vuoi dire che se il vettore $X^k$ ha un termine nullo allora la successione
$f(X^k)$ converge a zero ( o meglio e ferma a zero)
altrimenti la funzione resta ad 1?
Poi il limite se esiste è unico non possono esistere due limiti! o sbaglio
forse vuoi dire che se il vettore $X^k$ ha un termine nullo allora la successione
$f(X^k)$ converge a zero ( o meglio e ferma a zero)
altrimenti la funzione resta ad 1?
Una funzione [tex]$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$[/tex] sarebbe continua in un punto [tex]$P\in\mathbb{R}^n$[/tex] se e solo se:
I)[tex]$f(P)=\exists$[/tex]
II)[tex]$\forall\{P_k\in\mathbb{R}^n\}_{k\in\mathbb{N}}\mid\lim_{k\to+\infty}P_k=P,\,\lim_{k\to+\infty}f(P_k)=f(P)$[/tex]
Tradotto nel tuo caso: le successioni dei punti sulle rette passanti per l'origine di $\mathbb{R}^2$ a coefficiente angolare non nullo ti fanno risultare che la successione delle loro immagini è 1, le successioni dei punti della retta passante per l'origine di $\mathbb{R}^2$ a coefficiente angolare nullo ti fa risultare che la successione delle loro immagini è 0; quindi si ha la discontinuità!
I)[tex]$f(P)=\exists$[/tex]
II)[tex]$\forall\{P_k\in\mathbb{R}^n\}_{k\in\mathbb{N}}\mid\lim_{k\to+\infty}P_k=P,\,\lim_{k\to+\infty}f(P_k)=f(P)$[/tex]
Tradotto nel tuo caso: le successioni dei punti sulle rette passanti per l'origine di $\mathbb{R}^2$ a coefficiente angolare non nullo ti fanno risultare che la successione delle loro immagini è 1, le successioni dei punti della retta passante per l'origine di $\mathbb{R}^2$ a coefficiente angolare nullo ti fa risultare che la successione delle loro immagini è 0; quindi si ha la discontinuità!
Ok allora, a parte l'interpretazione geometrica, c'ero quasi.
e per la derivabilità?
e per la derivabilità?
Basta utilizzare la definizione di derivabilità parziale in un dato punto!
Direi che nel mio caso:
$a=(0,0)$
le derivate parziali sono
$f'_x(a)=lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h=0$ e
$f'_y(a)=lim_(h->0) (f(0,0+h)-f(0,0))/h=0$
che forse e meglio di quello che ho scritto nel primo post
giusto?
$a=(0,0)$
le derivate parziali sono
$f'_x(a)=lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h=0$ e
$f'_y(a)=lim_(h->0) (f(0,0+h)-f(0,0))/h=0$
che forse e meglio di quello che ho scritto nel primo post
giusto?
Sì, esercizio concluso!
La differenziabilità in [tex]$(0;0)$[/tex] non vi può essere in quanto manca la continuità!
La differenziabilità in [tex]$(0;0)$[/tex] non vi può essere in quanto manca la continuità!
Un'approfondimento,
so dell'esistenza di questo teorema
data una funzione come sopra studiata in $a=(0,0)$
se 1) le derivate parziali di $f$ esistono in un'intorno di $a$
e 2) nel punto $a$ sono continue
allora $f$ è differenziabile in $a$, quindi in quel punto è anche
continua e derivabile.
Quindi potrei studiare direttamente la diff.?
per osservare il comportamento delle derivate in un'intorno di $a$
identifico $b1=(k,k)$ con k piccolo a piacere (ma non nullo) e di segno qualsiasi
le derivate, se non sbaglio, esistono e sono nulle.
In un altro punto $b2=(0,k)$ ho che $f'_x$ diverge mentre $f'_y=0$
quindi le derivate parziali non sono
ben definite in tutto l'intorno di $a$ quindi non sono neppure continue in $a$
quindi niente differenziabilità di $f$ in $a$.
Con tale procedimento a ritroso passa ad indagare
la derivabilità di $f$ in $a$ e la ottengo,
e la continuità a quel punto potrei, adesso, rifiutarla senza controllarla direttamente.
E corretta tale impostazione?
so dell'esistenza di questo teorema
data una funzione come sopra studiata in $a=(0,0)$
se 1) le derivate parziali di $f$ esistono in un'intorno di $a$
e 2) nel punto $a$ sono continue
allora $f$ è differenziabile in $a$, quindi in quel punto è anche
continua e derivabile.
Quindi potrei studiare direttamente la diff.?
per osservare il comportamento delle derivate in un'intorno di $a$
identifico $b1=(k,k)$ con k piccolo a piacere (ma non nullo) e di segno qualsiasi
le derivate, se non sbaglio, esistono e sono nulle.
In un altro punto $b2=(0,k)$ ho che $f'_x$ diverge mentre $f'_y=0$
quindi le derivate parziali non sono
ben definite in tutto l'intorno di $a$ quindi non sono neppure continue in $a$
quindi niente differenziabilità di $f$ in $a$.
Con tale procedimento a ritroso passa ad indagare
la derivabilità di $f$ in $a$ e la ottengo,
e la continuità a quel punto potrei, adesso, rifiutarla senza controllarla direttamente.
E corretta tale impostazione?
markowitz sii più largo nei dettagli e poni una questione alla volta. Se nel primo caso tu avessi già dimostrato la differenziabilità di una data funzione in un dato punto perché dovresti studiare la medesima nel medesimo!
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