Continuità-Derivabilità
$f(x)=\{ (4, if x<= 0),(4x^2 - 4, if 0
La funzione ha un salto nel punto $0$ (una discontinuità di seconda specie).
Bene. Una funzione è derivabile in $x_0$ se esistono, finiti e coincidenti, i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra, nel punto $x_0$.
Nel caso della $f(x)$ che ho riportato sopra, si vede che, la derivata sinistra e la derivata destra esistono e coincidono.
$f'(x)={(0,if x in ]-oo,0[),(8x, if x in ]0, 1]):}$
Si può concludere che $f'(0) = 0$ ? Se così fosse, però, avrei che in un punto in cui la funzione $f$ non è continua, è derivabile. Ma un (ben noto) teorema dice che una funzione derivabile in un punto, è ivi continua. Quindi qui:
andrebbe aggiunto che la $f$ deve essere continua.
Sbaglio?
La funzione ha un salto nel punto $0$ (una discontinuità di seconda specie).
Bene. Una funzione è derivabile in $x_0$ se esistono, finiti e coincidenti, i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra, nel punto $x_0$.
Nel caso della $f(x)$ che ho riportato sopra, si vede che, la derivata sinistra e la derivata destra esistono e coincidono.
$f'(x)={(0,if x in ]-oo,0[),(8x, if x in ]0, 1]):}$
Si può concludere che $f'(0) = 0$ ? Se così fosse, però, avrei che in un punto in cui la funzione $f$ non è continua, è derivabile. Ma un (ben noto) teorema dice che una funzione derivabile in un punto, è ivi continua. Quindi qui:
Una funzione è derivabile in $x_0$ se esistono, finiti e coincidenti, i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra, nel punto $x_0$.
andrebbe aggiunto che la $f$ deve essere continua.
Sbaglio?
Risposte
spero di non sbagliare ma credo che il teorema abbia in ipotesi la continuità della funzione. Se la funzione non è continua la derivata nel punto non esiste, potrebbero esistere solo quella sinistra o destra.
Mi sa che ti sbagli. Ma probabilmente è solo il tuo ultimo "quote" che contiene un piccolo errore. Dico la mia:
C'è un teorema di calcolo che si usa spesso per stabilire se una funzione reale di variabile reale sia derivabile in un certo punto del proprio dominio ed è questo; alcuni lo chiamano Teorema di Darboux:
Sia $I$ un intervallo reale, $x_0$ un punto interno ad $I$, $f:I \to RR$ continua in $I$ e derivabile in $I-{x_0}$. Se $f'$ può essere prolungata per continuità ad $x_0$, ovvero se esistono finiti e sono uguali $lim_{x \to x_0 ^-} f'(x) = lim_{x \to x_0^+}f'(x)$, allora $f$ è derivabile anche in $x_0$.
Per dimostrare il teorema di Darboux è necessario un piccolo Lemma:
Sia $J$ un intervallo reale, $t_0\inJ$ e $g: J \to RR$ una funzione qualsiasi. $g$ è derivabile in $t_0$ se e solo se essa è ivi derivabile da destra e da sinistra.
dimostrazione(del lemma)
Questo risultato discende immediatamente dal fatto che una funzione reale ammette limite in un punto se e solo se essa ammette limite destro e sinistro, uguali, nello stesso.
dimostrazione(del teorema):
____________________________________________________________
Per venire a noi, con il tuo esempio mostri che l'ipotesi "$f$ continua in $x_0$" è indispensabile per il teorema; la funzione che hai portato, infatti, non è derivabile ma ha derivata prolungabile per continuità. Ma questo esempio non scalfisce la validità del lemma, infatti la tua funzione non è derivabile da destra.
C'è un teorema di calcolo che si usa spesso per stabilire se una funzione reale di variabile reale sia derivabile in un certo punto del proprio dominio ed è questo; alcuni lo chiamano Teorema di Darboux:
Sia $I$ un intervallo reale, $x_0$ un punto interno ad $I$, $f:I \to RR$ continua in $I$ e derivabile in $I-{x_0}$. Se $f'$ può essere prolungata per continuità ad $x_0$, ovvero se esistono finiti e sono uguali $lim_{x \to x_0 ^-} f'(x) = lim_{x \to x_0^+}f'(x)$, allora $f$ è derivabile anche in $x_0$.
Per dimostrare il teorema di Darboux è necessario un piccolo Lemma:
Sia $J$ un intervallo reale, $t_0\inJ$ e $g: J \to RR$ una funzione qualsiasi. $g$ è derivabile in $t_0$ se e solo se essa è ivi derivabile da destra e da sinistra.
dimostrazione(del lemma)
Questo risultato discende immediatamente dal fatto che una funzione reale ammette limite in un punto se e solo se essa ammette limite destro e sinistro, uguali, nello stesso.
dimostrazione(del teorema):
____________________________________________________________
Per venire a noi, con il tuo esempio mostri che l'ipotesi "$f$ continua in $x_0$" è indispensabile per il teorema; la funzione che hai portato, infatti, non è derivabile ma ha derivata prolungabile per continuità. Ma questo esempio non scalfisce la validità del lemma, infatti la tua funzione non è derivabile da destra.
"dissonance":
infatti la tua funzione non è derivabile da destra.
Perchè non è derivabile da destra? Il limite del rapporto incrementale per 0 da destra non è finito e in particolare uguale a 0?
Se non mi sono rimbecillito è $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=|_{"per "h>0}\frac{4(h^2-1)-4}{h}=4h-8/h$ che tende a $+infty$ per $h\to 0^+$. Da sinistra (ovvero per $h<0$), invece, il rapporto incrementale è identicamente nullo.
"dissonance":
Se non mi sono rimbecillito è $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=|_{"per "h>0}\frac{4(h^2-1)-4}{h}=4h-8/h$ che tende a $+infty$ per $h\to 0^+$. Da sinistra (ovvero per $h<0$), invece, il rapporto incrementale è identicamente nullo.
Quando fai al numeratore $- f(x)$ non ti dovrebbe venire $+ 4$ ? o sono rincitrullito completamente?
No, $f(0)=4$.
"dissonance":
No, $f(0)=4$.
Si adesso ho capito, scusami se ti ho fatto perdere tempo.
Quindi...
$lim_( h -> 0^+ ) (f(0+ h) - f(0))/h != lim_(x ->0^+) f'(x)$
Infatti:
$lim_( h -> 0^+ ) (f(0+ h) - f(0))/h = +oo $
$lim_( x ->0^+) f'(x) = 0$
Se non ho capito male.
Mi sono perso qualcosa?
$lim_( h -> 0^+ ) (f(0+ h) - f(0))/h != lim_(x ->0^+) f'(x)$
Infatti:
$lim_( h -> 0^+ ) (f(0+ h) - f(0))/h = +oo $
$lim_( x ->0^+) f'(x) = 0$
Se non ho capito male.
Mi sono perso qualcosa?
"Seneca":
$lim_( h -> 0^+ ) (f(0+ h) - f(0))/h = +oo $
Secondo me è sbagliato.
$f(0 + h) = 4h^2 - 4$
$f(0) = - 4$
Quindi:
$lim_( h -> 0^+ ) (4h^2)/h = lim_( h -> 0^+ ) 4h = 0$
Sbaglio? E' derivabile da destra?
Scusa Seneca, ma secondo la tua definizione si ha [tex]$f(0)=4$[/tex], quindi...
P.S.: Ho rimaneggiato un po' il codice MathML; troppe virgole danno fastidio all'ambiente per definire funzioni per casi, quindi ho dovuto sostituire gli intervalli con delle disuguaglianze.
P.S.: Ho rimaneggiato un po' il codice MathML; troppe virgole danno fastidio all'ambiente per definire funzioni per casi, quindi ho dovuto sostituire gli intervalli con delle disuguaglianze.
$f(0)=+4$, non $-4$. A conti fatti $f$ non è derivabile da destra in $0$.
[edit] Scrivevo contemporaneamente a Gugo. Negli ultimi giorni sta diventando una abitudine!
[edit] Scrivevo contemporaneamente a Gugo. Negli ultimi giorni sta diventando una abitudine!
Grazie delle risposte. Evidentemente mi sto rimbecillendo.
@Dissonance: Comunque sia, la funzione che ho definito in principio soddisfa le ipotesi del teorema di Darboux che hai scritto qualche giorno fa. A meno che tra le ipotesi non richieda che sia continua in $I$ e che sia derivabile in $I - {x_0}$. Correggimi se sbaglio...
@Dissonance: Comunque sia, la funzione che ho definito in principio soddisfa le ipotesi del teorema di Darboux che hai scritto qualche giorno fa. A meno che tra le ipotesi non richieda che sia continua in $I$ e che sia derivabile in $I - {x_0}$. Correggimi se sbaglio...
Uuh, che scemo!! Ho riletto adesso il mio enunciato del teorema di Darboux e mi sono accorto di avere lasciato una imprecisione proprio sulla cosa più importante. Certo, $f$ deve essere continua anche in $x_0$. Io volevo dire: $f$ continua (quindi continua ovunque), e $f$ derivabile in $I-{x_0}$ (quindi a priori non è nota la derivabilità di $f$ in $x_0$). Ho corretto il post precedente. Ti chiedo scusa, spero di non averti fatto perdere troppo tempo.
"dissonance":
Uuh, che scemo!! Ho riletto adesso il mio enunciato del teorema di Darboux e mi sono accorto di avere lasciato una imprecisione proprio sulla cosa più importante. Certo, $f$ deve essere continua anche in $x_0$. Io volevo dire: $f$ continua (quindi continua ovunque), e $f$ derivabile in $I-{x_0}$ (quindi a priori non è nota la derivabilità di $f$ in $x_0$). Ho corretto il post precedente. Ti chiedo scusa, spero di non averti fatto perdere troppo tempo.
Non ho perso del tempo. Anzi; grazie mille per l'aiuto!
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