Continuità derivabilità
ciao a tutti!
ho un problema
$ f(x,y)={ ( (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2) se (x,y)!=0 ),( 0 se (x,y)=0 ):}$
DOMINIO è tutto R^2 perché il primo termine è definito ovunque e il seno è su tutto R^2 tranne che nell'origine, ma poiché è discontinuità eliminabile lo definisco anche li, quindi funzione definita in R^2 .
CONTINUITA' calcolata rispetto a x rispetto a y mo dà il valore della funzione nell'origine quindi continua in R^2.
DERIVABILITA' faccio la derivata parziale rispetto a x e y ed è derivabile parzialmente rispetto a x e y tranne nell'origine.
la calcolo nell'origine per h tendente a 0 e mi viene sia per x e sia per y un prodotto tra infinitesimo e funzione limitata quindi 0. Io direi che le derivate parziali nell'origine sono continue perché per h che tende a 0 ho il valore della funzione nell'origine che è 0. Però perché l' esercizio mi dice che le derivate parziali non sono continue nell'origine?
me lo svolgete un attimo per bene (se potete completamente) e mi chiarite un po' le idee?
mille grazie!!!
ho un problema
$ f(x,y)={ ( (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2) se (x,y)!=0 ),( 0 se (x,y)=0 ):}$
DOMINIO è tutto R^2 perché il primo termine è definito ovunque e il seno è su tutto R^2 tranne che nell'origine, ma poiché è discontinuità eliminabile lo definisco anche li, quindi funzione definita in R^2 .
CONTINUITA' calcolata rispetto a x rispetto a y mo dà il valore della funzione nell'origine quindi continua in R^2.
DERIVABILITA' faccio la derivata parziale rispetto a x e y ed è derivabile parzialmente rispetto a x e y tranne nell'origine.
la calcolo nell'origine per h tendente a 0 e mi viene sia per x e sia per y un prodotto tra infinitesimo e funzione limitata quindi 0. Io direi che le derivate parziali nell'origine sono continue perché per h che tende a 0 ho il valore della funzione nell'origine che è 0. Però perché l' esercizio mi dice che le derivate parziali non sono continue nell'origine?
me lo svolgete un attimo per bene (se potete completamente) e mi chiarite un po' le idee?
mille grazie!!!
Risposte
Prima di questo, svolgi l'esercizio seguente, di funzioni di una sola variabile: studia
\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\sin(1/x^2), & x\ne 0, \\
0, & x=0.
\end{cases}
\]
Questa funzione è differenziabile in \(0\)? È vero che \(f'\) è continua in \(0\)?
\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\sin(1/x^2), & x\ne 0, \\
0, & x=0.
\end{cases}
\]
Questa funzione è differenziabile in \(0\)? È vero che \(f'\) è continua in \(0\)?
la differenziabilità vorrei guardarla dopo perché sto facendo l'esercizio guardando solo derivabilità dominio e continuità
su questa funzione trovo che il dominio è R perché il primo termine è stabilito su tutto R e il seno è definito per l'argomento diverso da 0 ma in 0 è 0 quindi definita tutta in R
la continuità svolgo il limite per x che tende a 0 della funzione e trovo 0 perché è il prodotto tra infinitesima e limitata quindi 0, assume il valore della funzione nel punto quindi continua in R
la derivabilità, la svolgo rispetto a x e trovo che derivabile per x diverso da 0, vedo cosa accade in 0 per h che tende a 0 e trovo che vale 0.
la derivata è continua perché il limite mi dà 0 che è il valore della funzione in 0.
spiegami cosa sbaglio se puoi fammi vedere anche un tuo svolgimento della precedente. grazie
su questa funzione trovo che il dominio è R perché il primo termine è stabilito su tutto R e il seno è definito per l'argomento diverso da 0 ma in 0 è 0 quindi definita tutta in R
la continuità svolgo il limite per x che tende a 0 della funzione e trovo 0 perché è il prodotto tra infinitesima e limitata quindi 0, assume il valore della funzione nel punto quindi continua in R
la derivabilità, la svolgo rispetto a x e trovo che derivabile per x diverso da 0, vedo cosa accade in 0 per h che tende a 0 e trovo che vale 0.
la derivata è continua perché il limite mi dà 0 che è il valore della funzione in 0.
spiegami cosa sbaglio se puoi fammi vedere anche un tuo svolgimento della precedente. grazie
Per funzioni di una variabile, differenziabilità e derivabilità sono la stessa cosa.
Hai scritto che la derivata è continua. È sbagliato. La derivata esiste, ma non è continua in 0.
Hai scritto che la derivata è continua. È sbagliato. La derivata esiste, ma non è continua in 0.
perché non è continua? da destra e da sinistra il limite non è o quindi la funzione in 0? infinitesima per limitata non è infinitesima?
aspetta forse ho avuto una svista sulla derivata. la funzione nel punto viene 0 però le derivate parziali nell'origine non sono continue perché il limite è infinito quindi non rispecchia la funzione nell'origine? Ti torna per caso?
Ma no, fai le cose con calma e per bene. Calcola la derivata \(f'(x)\) per \(x\ne 0\), per favore. Poi calcola il limite
\[
\lim_{x\to 0} f'(x),\]
SE esiste.
\[
\lim_{x\to 0} f'(x),\]
SE esiste.
E' quello che ti sto dicendo. La derivata prima nell'origine ti porta infinito? Quindi non è continua nell'origine perché non è uguale alla funzione nel punto?
ho visto il primo termine che è infinito della derivata nell'origine ma non avevo considerato cos (1/x^2) che per x che tende all'origine non esiste , è per questo che non è continua nell'origine, nonostante nell'origine esiste giusto?
Ma scusa, invece di fare tutto questo casino, per favore, scrivi qua \(f'(x)\). Scrivi bene.
"arnett":Esattamente, grazie.
se vuoi che ti si aiuti in maniera utile dovresti fare due conti e riportarli qui, altrimenti rimane tutto fumoso.
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