Continuità della norma

[maria rita1]

Salve a tutti,
qualcuno può aiutarmi? Come faccio a dimostrare che la norma $||\cdot|| : V \longrightarrow \mathbb{R}$ è una funzione continua senza l'ausilio dei limiti e a partire dalla relazione $| ||x||-||y|| | \leq ||x-y||$?

[Luca.Lussardi]

L'hai praticamente già scritta, basta che scrivi la definizione di continuità $\epsilon-delta$ con la scelta $\delta=\epsilon$ (scelta che va bene per tutte le funzioni $1$-lipschitz come la norma).

[maria rita1]

Mi dispiace ma nn vedo la soluzione... Potresti essere più preciso?
Proprio non ci riesco!

[Luca.Lussardi]

$f(x)=||x||$ è continua in $x_0$ se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che per ogni $x$ con $||x-x_0||<\delta$ si ha $|||x||-||x_0|||<\epsilon$. E' praticamente già verificato se usi $\delta=\epsilon$ e la disuguaglianza che hai dato.

[maria rita1]

Grazie mille!

[ludwigZero]

"Luca.Lussardi":$f(x)=||x||$ è continua in $x_0$ se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che per ogni $x$ con $||x-x_0||<\delta$ si ha $|||x||-||x_0|||<\epsilon$. E' praticamente già verificato se usi $\delta=\epsilon$ e la disuguaglianza che hai dato.

sull'eserciziario dello sbordone mi si richiede proprio questo, dimostrare la continuità della norma di $x$, ora lui propone questa dimostrazione, che la trovo un pò (non lunga) ma troppo artificiosa:

$|x| = |(x-y)+y| <= |x-y|+|y|$

$|x|-|y| <= |x-y|$

$||x|-|y||<= |x-y|$

$|f(x)-f(x_0)|=||x|-|x_0||<= |x-x_0|$

$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$

senza che menzionasse la definizione 'standard' con $epsilon$ ....
solo una domanda: perchè posso scegliere già $\espilon =\delta$?