Continuità della funzione potenza.

[Pasquale 90]

Buonasera, sto provando a verificare la continuità della funzione $x to x^a$ con $x in RR_+\,\ a ne 0. $
Non sono sicuro se il seguente procedimento sia sensato oppure no, quindi vi chiedo se quanto segue potrebbe andare bene.

Sia $a>0$ devo verificare che $lim _(x to x_0)x =x_0^a. $
Il libro mi suggerisce di procedere nella seguente maniera $x^a=(x/x_0)^a*x_0^a$ e $t=x/x_0$ e studiare il limite $lim_(t to 1) t^a=1 leftrightarrow^("def") forall epsilon>0 \ exists\ delta_(epsilon) \:\ |t-1| Per verificare quest'ultimo mi calcolo i limite dx e sx, quindi procedo cosi :


$lim_(t to 1^-)t^a=1$ si ha $t>1 \ to t^a>1 \ to t^a-t>1-t $ allora
$|t^a-1|=|(t^a-t)+(t-1)| le |t^a-t|+|t-1|<|1-t|+|t-1|=|t-1|+|t-1|=2|t-1|$
quest'ultima è minore di $epsilon$ se $|t-1| Pertanto basta considerare $delta_(epsilon)=epsilon/2$ nella definizione di limite sx.

$lim_(t to 1^-)t^a=1$ si ha $t>1 \ to t^a>1 \ to t^a-t>1-t \ to t-1>t-t^a$ allora
$|t^a-1|=|(t^a-t)+(t-1)| le |t^a-t|+|t-1|=|t-t^a|+|t-1|<|t-1|+|t-1|=2|t-1|$
quest'ultima è minore di $epsilon$ se $|t-1| Pertanto basta considerare $delta_(epsilon)=epsilon/2$ nella definizione di limite dx.

Infine, la definizione di limite è soddisfatta, in particolare anche la definizione di continuità.
Invece per il caso $a<0$ basta osservare che $a<0 to -a>0$ allora in tal caso basta procedere come nel caso di $a>0$

Ciao

[Pasquale 90]

Ho fatto uno strafalcione perché nessuno mi risponde.

[marco.ruggiero]

"Pasquale 90":$ |t^a-t|+|t-1|<|1-t|+|t-1| $

Questa disuguaglianza non mi torna.

Io avrei fatto così. Per $alpha>0$ e per $epsilon<1$, si ha

$|t^alpha-1|(1-epsilon)^(1/alpha)
Ovviamente l'intervallo $((1-epsilon)^(1/alpha),(1+epsilon)^(1/alpha))$ contiene un intorno di $1$, ma se proprio vogliamo determinarlo, basta porre $delta_epsilon=min{1-(1-epsilon)^(1/alpha),(1+epsilon)^(1/alpha)-1}$

[Pasquale 90]

Ciao grazie per avermi risposto, comunque mi rendo conto di aver commesso alcuni errori nel messaggio precedente, comunque volevo dire :

per il limite calcolato in un intorno destro, $1 $|t^a-t|=|-(t^a-t)|=|t-t^a| to |t^a-t|<|t-1|,$
$|t^a-t|+|t-1|<2|t-1|.$

per il limite calcolato in un intorno sinistro, $t<1 to t^a<1 to t^a-t<1-t,$
$|1-t|=|-(1-t)|=|t-1|,$
$|t^a-t|+|t-1|<2|t-1|.$

[marco.ruggiero]

Nell'intorno destro tu hai affermato che

$t-t^alpha|t-t^alpha|<|t-1|(=t-1)$

Questo in generale non è vero. Se $00$ e funziona. Ma se $alpha>1$ hai $t-t^alpha<0$, cioè $|t-t^alpha|=t^alpha-t$ e non è detto che la suddetta disuguaglianza sia vera, a patto di prendere $t$ in modo tale che $2t-t^alpha>1$; ma puoi constatare che tale disuguaglianza non è verificata ad esempio per $alpha=2$(ottieni infatti $(t-1)^2<0$).
Ciò che ti voglio far notare è che se $a<0$ e $b>0$ in generale non è vero che $|a|

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[Pasquale 90]

Grazie