Continuità della funzione inversa.
Salve, stu studiando analisi 1 e devo dimostrare che se T è un compatto, f è una funzione continua da T ad E, ed f è bigettiva, allora $f^-1$ è continua.
Io non riesco a capire a cosa serva l'ipotesi di compattezza: se io ho una funzione continua applicata a un T compatto, allora so che $f (T)$ è limitato e chiuso, ma non capisco a cosa serva ai fini della dimostrazione, io pensavo di dimostrarla così:
$y in E -> y = f (x)$ per un solo $x in T$. Se applico $f^-1$ ottengo:
$f^-1 ( y ) = f^-1 (f (x)) = x$ per ogni x. La funzione identità è continua, e per ipotesi $f ( x)$ è unico e quindi non ci sono ambiguità... boh, non è che potreste postarmi una dimostrazione più "rigorosa" che faccia uso di tutte le ipotesi e chiarirmi il dubbio? grazie.
Io non riesco a capire a cosa serva l'ipotesi di compattezza: se io ho una funzione continua applicata a un T compatto, allora so che $f (T)$ è limitato e chiuso, ma non capisco a cosa serva ai fini della dimostrazione, io pensavo di dimostrarla così:
$y in E -> y = f (x)$ per un solo $x in T$. Se applico $f^-1$ ottengo:
$f^-1 ( y ) = f^-1 (f (x)) = x$ per ogni x. La funzione identità è continua, e per ipotesi $f ( x)$ è unico e quindi non ci sono ambiguità... boh, non è che potreste postarmi una dimostrazione più "rigorosa" che faccia uso di tutte le ipotesi e chiarirmi il dubbio? grazie.
Risposte
"Zkeggia":
Salve, stu studiando analisi 1 e devo dimostrare che se T è un compatto, f è una funzione continua da T ad E, ed f è bigettiva, allora $f^-1$ è continua.
Io non riesco a capire a cosa serva l'ipotesi di compattezza: se io ho una funzione continua applicata a un T compatto, allora so che $f (T)$ è limitato e chiuso, ma non capisco a cosa serva ai fini della dimostrazione, io pensavo di dimostrarla così:
$y in E -> y = f (x)$ per un solo $x in T$. Se applico $f^-1$ ottengo:
$f^-1 ( y ) = f^-1 (f (x)) = x$ per ogni x. La funzione identità è continua, e per ipotesi $f ( x)$ è unico e quindi non ci sono ambiguità... boh, non è che potreste postarmi una dimostrazione più "rigorosa" che faccia uso di tutte le ipotesi e chiarirmi il dubbio? grazie.
La dimostrazione del teorema che citi non e' immediata (non e' neanche impossibile, ma mi pare che prima di affrontarla - ammesso che tu debba farlo - dovresti prima riflettere un po' sul problema).
La dimostrazione che hai abozzato non e' corretta - non e' detto che date due funzioni $f$ e $g$ tali che $f\circ g$ e' continua siano esse stesse continue.
Se prendi $T=[0,1]\cup]2,3]$ ($T$ non e' compatto) e definisci $f(x)=x$ per $x\in[0,1]$, $f(x)=x-1$ per $x\in]2,3]$ la $f$ e' bigettiva da $T$ in $[0,2]$, e' continua ma $f^{-1}$ non e' continua. Prova a vedere se questo ti torna.
EDIT Corretto $[0,2]$ al posto di $[1,2]$ - sorry
"Zkeggia":
Salve, stu studiando analisi 1 e devo dimostrare che se T è un compatto, f è una funzione continua da T ad E, ed f è bigettiva, allora $f^-1$ è continua.
Beh, è sicuramente una cosa molto intuitiva, solo che dimostrarla non è cosa semplice.....
...intuitiva perchè se ci pensi, se $f$ è biettiva, significa che è invertibile e che quindi $f^(-1)(f)=x$, ossia che l'inversa di $f$ ti deve rendere il punto $x$ del dominio, quindi se $f^(-1)$ non fosse continua, ci sarebbero punti in cui la sua immagine non esisterebbe e quindi per quei punti non si potrebbe ricondurre il punto del dominio, andando quindi contro al fatto che $f$ è biettiva...forse potresti tentare una dimostrazione per assurdo!
Ciao
"ViciousGoblin":
Se prendi $T=[0,1]\cup]2,3]$ ($T$ non e' compatto) e definisci $f(x)=x$ per $x\in[0,1]$, $f(x)=x-1$ per $x\in]2,3]$ la $f$ e' bigettiva da $T$ in $[1,2]$, e' continua ma $f^{-1}$ non e' continua.
Immagino che ci sia un refuso: la $f$ e' bigettiva da $T$ in $[0,2]$
"Sidereus":
[quote="ViciousGoblin"]Se prendi $T=[0,1]\cup]2,3]$ ($T$ non e' compatto) e definisci $f(x)=x$ per $x\in[0,1]$, $f(x)=x-1$ per $x\in]2,3]$ la $f$ e' bigettiva da $T$ in $[1,2]$, e' continua ma $f^{-1}$ non e' continua.
Immagino che ci sia un refuso: la $f$ e' bigettiva da $T$ in $[0,2]$[/quote]
Grazie per la segnalazione - ho corretto l'errore.
Non riesco a capire cose devo fare, cioè per assurdo se $f^-1$ non fosse continua allora esisterebbe un intorno $V$ in T tale che per ogni intorno $U$ di E si ha $y = f(x) in U -> f^-1(y)$ non appartenente a V. T è un compatto quindi T è chiuso e limitato. Se $f^-1$ non è continua allora non è strettamente monotona, ma non riesco a dimostrare che è un assurdo, eppure è troppo evidente ed intuitivo... aiutino?
forse ci sono: se $f^-1$ non è monotona, se gli estremi sono $f(a)$ ed $f(b)$, con $f(a)= f^-2(y_2)$, devo dimostrare che questo è assurdo:
se applico f ad entrambi i membri della disequazione $f^-1 (y_1) >= f^-1(y_2)$ ottengo $y_1 >=y_2$ il che è assurdo perché ho supposto $y_1 < y_2$. Quindi ho scoperto che $f^-1$ è invertibile e strettamente monotona, devo concludere dicendo che una funzione da un compatto a un compatto strettamente monotona e invertibile è continua. Sto andando bene? Però il problema è che non ho ancora usato il fatto che T sia compatto. Cioè so che l'ipotesi che T sia compatto mi serve per evitare cose come quello che ha scritto Goblin, però non riesco a implementarlo perché mi sembra che logicamente non ci siano errori in questa dimostrazione.
se applico f ad entrambi i membri della disequazione $f^-1 (y_1) >= f^-1(y_2)$ ottengo $y_1 >=y_2$ il che è assurdo perché ho supposto $y_1 < y_2$. Quindi ho scoperto che $f^-1$ è invertibile e strettamente monotona, devo concludere dicendo che una funzione da un compatto a un compatto strettamente monotona e invertibile è continua. Sto andando bene? Però il problema è che non ho ancora usato il fatto che T sia compatto. Cioè so che l'ipotesi che T sia compatto mi serve per evitare cose come quello che ha scritto Goblin, però non riesco a implementarlo perché mi sembra che logicamente non ci siano errori in questa dimostrazione.
"Zkeggia":
Non riesco a capire cose devo fare, cioè per assurdo se $f^-1$ non fosse continua allora esisterebbe un intorno $V$ in T tale che per ogni intorno $U$ di E si ha $y = f(x) in U -> f^-1(y)$ non appartenente a V. T è un compatto quindi T è chiuso e limitato. Se $f^-1$ non è continua allora non è strettamente monotona, ma non riesco a dimostrare che è un assurdo, eppure è troppo evidente ed intuitivo... aiutino?
Considera la compattezza per successioni. Se $y_0$ fosse un punto di discontinuità di $f^-1(y)$, potresti costruire una successione $y_n$ che converge a $y_0$, ma nello stesso tempo la successione $f^-1(y_n)$ non convergerebbe a $f^-1(y_0)$.
D'altra parte, i punti $x_n=f^-1(y_n)$ appartengono a un compatto, per cui da $x_n$ si può estrarre una successione che converge per esempio a $x_0$.... cosa concludi?
@ Sidereus:
concludo che questo è un assurdo perché se posso costruire una successione convergente a $x_0$ allora $f^-1 (y_n)$ è convergente a $f^-1 (y_0)$, e la successione sarebbe proprio quella degli $x_n$, ma noi abbiamo come ipotesi che non esistano tali successioni. Però devo dimostrare che la successione di $f(x_n)$ converga ad $y_0$
concludo che questo è un assurdo perché se posso costruire una successione convergente a $x_0$ allora $f^-1 (y_n)$ è convergente a $f^-1 (y_0)$, e la successione sarebbe proprio quella degli $x_n$, ma noi abbiamo come ipotesi che non esistano tali successioni. Però devo dimostrare che la successione di $f(x_n)$ converga ad $y_0$
"Zkeggia":
@ Sidereus:
concludo che questo è un assurdo perché se posso costruire una successione convergente a $x_0$ allora $f^-1 (y_n)$ è convergente a $f^-1 (y_0)$, e la successione sarebbe proprio quella degli $x_n$, ma noi abbiamo come ipotesi che non esistano tali successioni. Però devo dimostrare che la successione di $f(x_n)$ converga ad $y_0$
Se una successione converge a un limite $L$, ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite.
Allora, $f$ per essere biettiva deve essere strettamente monotona, pertanto l'inversa $f^(-1)$ deve essere continua...Poichè $f$ è strettamente crescente, anche $f^(-1)$ deve esserlo, dunque esistono i limiti da destra e da sinistra in ogni punto.
Supponiamo ora per assurdo che $f^(-1)$ non è continua in un punto $w$, allora avremmo che:
$lim_(y->w^-)f^(-1)(y) < lim_(y->w^+)f^(-1)(y)$.
Poichè $f$ è strettamente crescente si avrebbe allora:
$f(lim_(y->w^-)f^(-1)(y)) < f(lim_(y->w^+)f^(-1)(y))$
e poichè $f$ è continua allora:
$lim_(y->w^-)f(f^(-1)(y)) < lim_(y->w^+)f(f^(-1)(y))$
cioè
$lim_(y->w^-)y < lim_(y->w^+)y$, da cui seguirebbe l'assurdo che $w < w$.
Così dovrebbe andare! Ciao
Supponiamo ora per assurdo che $f^(-1)$ non è continua in un punto $w$, allora avremmo che:
$lim_(y->w^-)f^(-1)(y) < lim_(y->w^+)f^(-1)(y)$.
Poichè $f$ è strettamente crescente si avrebbe allora:
$f(lim_(y->w^-)f^(-1)(y)) < f(lim_(y->w^+)f^(-1)(y))$
e poichè $f$ è continua allora:
$lim_(y->w^-)f(f^(-1)(y)) < lim_(y->w^+)f(f^(-1)(y))$
cioè
$lim_(y->w^-)y < lim_(y->w^+)y$, da cui seguirebbe l'assurdo che $w < w$.
Così dovrebbe andare! Ciao
Per ogni successione convergente a $y_0$, so trovare una successione di $f^-1 (y_n)$ che converga a $f^-1 (y_0)$. Questa successione la trovo considerando che gli $f^-1(y_n)$ si trovano in un compatto, quindi da ogni successione di $x_n$ in quel compatto posso estrarne una che converga a $x_0$. Ma se per ipotesi $f^-1$ fosse discontinua, allora ogni sottosuccessione di $f^-1 (y_n)$ non può convergere a $f^-1 (y_0) = x_0$ (se $y_0$ è punto di discontinuità). Dal momento che ne ho trovata una, deduco che è un assurdo. Va bene?
"Alexp":
Allora, $f$ per essere biettiva deve essere strettamente monotona, pertanto l'inversa $f^(-1)$ deve essere continua...Poichè $f$ è strettamente crescente, anche $f^(-1)$ deve esserlo, dunque esistono i limiti da destra e da sinistra in ogni punto.
Supponiamo ora per assurdo che $f^(-1)$ non è continua in un punto $w$, allora avremmo che:
$lim_(y->w^-)f^(-1)(y) < lim_(y->w^+)f^(-1)(y)$.
Poichè $f$ è strettamente crescente si avrebbe allora:
$f(lim_(y->w^-)f^(-1)(y)) < f(lim_(y->w^+)f^(-1)(y))$
e poichè $f$ è continua allora:
$lim_(y->w^-)f(f^(-1)(y)) < lim_(y->w^+)f(f^(-1)(y))$
cioè
$lim_(y->w^-)y < lim_(y->w^+)y$, da cui seguirebbe l'assurdo che $w < w$.
Così dovrebbe andare! Ciao
Non e' vero che $f$ bigettiva e continua implica $f$ strettamente monotona - non se l'insieme di partenza non e' un intervallo (e questo teorema non parla di intervalli ma di compatti).
La tua dimostrazione e' quella che si fa per dimostrare la continuita' di $f^{-1}$ quando $f$ (continua e invertibile) e' definita su un intervallo (non necessariamente compatto).
Questo teorema e' trasversale a quello di cui si sta parlando (che peraltro rimane valido in piu' variabili, a differenza dell'altro).
"ViciousGoblin":
Non e' vero che $f$ bigettiva e continua implica $f$ strettamente monotona - non se l'insieme di partenza non e' un intervallo (e questo teorema non parla di intervalli ma di compatti).
Beh, ma un compatto può essere anche monodimensionale, e quindi un insieme monodimensionale chiuso e limitato è intervallo compatto...sbaglio?
la pecca è che vale solo per funzioni di una variabile, ma (anche dai post precedenti) mi sembrava che si stesse parlando proprio di una funzione ad una variabile...
Beh sui miei appunti non c'è l'ipotesi che la funzione sua ad una sola variabile, quindi forse è meglio se traggo una conclusione generale, che non si sa mai. Comunque quella di Alex dovrebbe andar bene, visto che noi non abbiamo fatto funzioni a più ariabili nel corso di analisi 1, e neanche in quello di analisi 2... però non so... in ogni caso vi ringrazio per le risposte!
Va bene la dimostrazione che ha iniziato Sidereus e che ho provato a concludere io?
Va bene la dimostrazione che ha iniziato Sidereus e che ho provato a concludere io?
"Alexp":
[quote="ViciousGoblin"]
Non e' vero che $f$ bigettiva e continua implica $f$ strettamente monotona - non se l'insieme di partenza non e' un intervallo (e questo teorema non parla di intervalli ma di compatti).
Beh, ma un compatto può essere anche monodimensionale, e quindi un insieme monodimensionale chiuso e limitato è intervallo compatto...sbaglio?
la pecca è che vale solo per funzioni di una variabile, ma (anche dai post precedenti) mi sembrava che si stesse parlando proprio di una funzione ad una variabile...[/quote]
Un compatto e' un insieme limitato e chiuso, non un intervallo limitato e chiuso. Per esempio $A={1/n:n\in NN}\cup{0}$ e' un compatto.
In $RR$ ci sono due teoremi sulla continuita' di $f^{-1}$ quello sugli intervalli (piu' utilizzato) e quello sui compatti - questo secondo si estende, senza cambiare nulla, su $RR^n$
"Zkeggia":
Beh sui miei appunti non c'è l'ipotesi che la funzione sua ad una sola variabile, quindi forse è meglio se traggo una conclusione generale, che non si sa mai. Comunque quella di Alex dovrebbe andar bene, visto che noi non abbiamo fatto funzioni a più ariabili nel corso di analisi 1, e neanche in quello di analisi 2... però non so... in ogni caso vi ringrazio per le risposte!
Va bene la dimostrazione che ha iniziato Sidereus e che ho provato a concludere io?
Provo a scrivere la dim.( che e' nella falsariga indicata da Sidereus). Rimango dubbioso sul fatto che tu debba
trovare questa dimostrazione "per esercizio" ( o ti interessa per conto tuo ?)
Supponiamo per assurdo che $f^{-1}$ non sia continua in un $y_0=f(x_0)$. Allora non e' vero che
$\lim_{y\to y_0}f^{-1}(y)=f^{-1}(y_0)=x_0$
Si vede ( e questo e' un punto che mettere a posto puo' essere noioso) che allora esiste una successione
$(y_n)$ con $y_n\to y_0$, ma $f^{-1}(y_n)$ fuori da un intorno $U_0$ (indipendente da $n$) di $x_0$.
Dato che $x_n:=f^{-1}(y_n)$ e' una successione nel dominio di $f$, che e' compatto, esiste una sottosuccessione
$(x_{n_k})$ che converge a un punto $x_1$, che necessariamente deve essere diverso da $x_0$ ($x_1\notin U_0$).
D'altra la corrispondente successione $(y_{n_k})$, essendo un' estratta di $(y_n)$ deve convergere a $y_0$.
A questo punto usiamo la continuita' di $f$ (che fin'ora non ha contato). Da $x_{n_k}\to x_1$ segue
$f(x_{n_k})\to f(x_1)$ e quindi (per quanto visto due righe sopra) $f(x_1)=y_0$. Ma anche $f(x_0)=y_0$
e questo contrasta con l'iniettivita' di $f$. Dunque c'e' un assurdo da cui un tale $y_0$ non puo' esistere.
Allora,
TEOREMA
Se $A$ è un compatto e $f:A->B$ è continua e invertibile anche $f^(-1):B->A$ è continua.
DIMOSTRAZIONE
Sia $y_0$ un punto di $B$. Se $y_0$ è un punto isolato di $B$ non c'è nulla da dimostrare, se invece $y_0$ è un punto di accumulazione per $B$ proviamo che:
$lim_(y->y_0) f^(-1)(y)=f^(-1)(y_0)$
Per far questo consideriamo $y_n$ una successione reale a valori in $B-(y_0)$ la quale converge in $y_0$
$lim_(n->infty)y_n=y_0$
Poniamo $x_n=f^(-1)(y_n)$ e $x_0=f^(-1)(y_0)$, si deve dimostrare che:
$lim_(n->infty)x_n=x_0$.
Ragioniamo ora per assurdo; supponiamo che $lim_(n->infty)x_n=x_0$ non sia vera, allora esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che per ogni $v \in NN$, esiste almeno un $n>v$ per cui $x_n$ non appartiene a $V$. Quindi da $x_n$ si può estrarre una successione $x_n'$ tale che:
$x_n'$ non appartiene a $V$ per ogni $n \in NN$.
Poichè $A$ è compatto possiamo supporre che $x_n'$ converga a un punto $x_0' \in A$ e per $x_n'$ non appartiene a $V$ per ogni $n \in NN$, risulta $x_0'$ diverso da $x_0$.
Tenuto conto che $f$ è continua in $x_0$ si ha:
$lim_(n->infty)f(x_n')=f(x_0)=y_0$
D'altra parte $y_n'=f(x_n')$ è una successione estratta da $y_n$ e quindi per l'ipotesi $lim_(n->infty)y_n=y_0$, si ha
$lim_(n->infty)f(x_n')=y_0$ .
Ora da $lim_(n->infty)f(x_n')=f(x_0)=y_0$ e da $lim_(n->infty)f(x_n')=y_0$ segue che:
$y_0=y_0'$, ma ciò è assurdo perchè $x_0'$ è diverso da $x_0$ e $f$ è iniettiva.
Ciao
TEOREMA
Se $A$ è un compatto e $f:A->B$ è continua e invertibile anche $f^(-1):B->A$ è continua.
DIMOSTRAZIONE
Sia $y_0$ un punto di $B$. Se $y_0$ è un punto isolato di $B$ non c'è nulla da dimostrare, se invece $y_0$ è un punto di accumulazione per $B$ proviamo che:
$lim_(y->y_0) f^(-1)(y)=f^(-1)(y_0)$
Per far questo consideriamo $y_n$ una successione reale a valori in $B-(y_0)$ la quale converge in $y_0$
$lim_(n->infty)y_n=y_0$
Poniamo $x_n=f^(-1)(y_n)$ e $x_0=f^(-1)(y_0)$, si deve dimostrare che:
$lim_(n->infty)x_n=x_0$.
Ragioniamo ora per assurdo; supponiamo che $lim_(n->infty)x_n=x_0$ non sia vera, allora esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che per ogni $v \in NN$, esiste almeno un $n>v$ per cui $x_n$ non appartiene a $V$. Quindi da $x_n$ si può estrarre una successione $x_n'$ tale che:
$x_n'$ non appartiene a $V$ per ogni $n \in NN$.
Poichè $A$ è compatto possiamo supporre che $x_n'$ converga a un punto $x_0' \in A$ e per $x_n'$ non appartiene a $V$ per ogni $n \in NN$, risulta $x_0'$ diverso da $x_0$.
Tenuto conto che $f$ è continua in $x_0$ si ha:
$lim_(n->infty)f(x_n')=f(x_0)=y_0$
D'altra parte $y_n'=f(x_n')$ è una successione estratta da $y_n$ e quindi per l'ipotesi $lim_(n->infty)y_n=y_0$, si ha
$lim_(n->infty)f(x_n')=y_0$ .
Ora da $lim_(n->infty)f(x_n')=f(x_0)=y_0$ e da $lim_(n->infty)f(x_n')=y_0$ segue che:
$y_0=y_0'$, ma ciò è assurdo perchè $x_0'$ è diverso da $x_0$ e $f$ è iniettiva.
Ciao
Che cos'è $y_0'$? sei sicuro di aver messo tutti i $'$ dopo i vari x e y al posto giusto? che non mi torna molto.
"Zkeggia":
Che cos'è $y_0'$? sei sicuro di aver messo tutti i $'$ dopo i vari x e y al posto giusto? che non mi torna molto.
Direi che $y_0'$ e' $f(x_0')$ - effettivamente bisognerebbe dire che dalla continuita' si deduce $\lim f(x_n)=f(x_0')$ mentre per motivi di sottosuccessioni $\lim f(x_n)=y_0=f(x_0)$,
da cui $f(x_0)=f(x_0')$ che contraddice l'iniettivita'. C'e' qualche imprecisione, ma lo schema della dim. e' corretto (e c'e' qualche dettaglio in piu' rispetto a quello che avevo detto io,
che comunque e' la stessa cosa). Ti torna ora?
sì ora mi torna decisamente, grazie!
Comunque in realtà non è un esercizio, il professore ha tentato di dimostrarcelo in classe, ma ha fatto un po' di casino e non è che abbia seguito molto bene, erano gli ultimi 5 minuti dell'ultimo giorno di università e sinceramente non avevamo le forze per chiedergli di ripeterla!
Comunque in realtà non è un esercizio, il professore ha tentato di dimostrarcelo in classe, ma ha fatto un po' di casino e non è che abbia seguito molto bene, erano gli ultimi 5 minuti dell'ultimo giorno di università e sinceramente non avevamo le forze per chiedergli di ripeterla!
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