Continuità della funzione inversa.

[Zkeggia]

Salve, stu studiando analisi 1 e devo dimostrare che se T è un compatto, f è una funzione continua da T ad E, ed f è bigettiva, allora $f^-1$ è continua.

Io non riesco a capire a cosa serva l'ipotesi di compattezza: se io ho una funzione continua applicata a un T compatto, allora so che $f (T)$ è limitato e chiuso, ma non capisco a cosa serva ai fini della dimostrazione, io pensavo di dimostrarla così:

$y in E -> y = f (x)$ per un solo $x in T$. Se applico $f^-1$ ottengo:
$f^-1 ( y ) = f^-1 (f (x)) = x$ per ogni x. La funzione identità è continua, e per ipotesi $f ( x)$ è unico e quindi non ci sono ambiguità... boh, non è che potreste postarmi una dimostrazione più "rigorosa" che faccia uso di tutte le ipotesi e chiarirmi il dubbio? grazie.

[ViciousGoblin]

"Zkeggia":sì ora mi torna decisamente, grazie!

Comunque in realtà non è un esercizio, il professore ha tentato di dimostrarcelo in classe, ma ha fatto un po' di casino e non è che abbia seguito molto bene, erano gli ultimi 5 minuti dell'ultimo giorno di università e sinceramente non avevamo le forze per chiedergli di ripeterla!

Capisco

[Alexp1]

"ViciousGoblin":
Direi che $y_0'$ e' $f(x_0')$ - effettivamente bisognerebbe dire che dalla continuita' si deduce $\lim f(x_n)=f(x_0')$ mentre per motivi di sottosuccessioni $\lim f(x_n)=y_0=f(x_0)$,
da cui $f(x_0)=f(x_0')$ che contraddice l'iniettivita'. C'e' qualche imprecisione, ma lo schema della dim. e' corretto (e c'e' qualche dettaglio in piu' rispetto a quello che avevo detto io,
che comunque e' la stessa cosa).

Si "ViciusGoblin", hai ragione, ho scritto il tutto molto rapidamente e non ho specificato alcune cosette che comunque erano abbastanza ovvie.....Beh, l'importante era, per lo meno, rendere l'idea a "Zkeggia", poi se la sistemerà lui per bene...Ciao.

[ViciousGoblin]

"Alexp":[quote="ViciousGoblin"]
Direi che $y_0'$ e' $f(x_0')$ - effettivamente bisognerebbe dire che dalla continuita' si deduce $\lim f(x_n)=f(x_0')$ mentre per motivi di sottosuccessioni $\lim f(x_n)=y_0=f(x_0)$,
da cui $f(x_0)=f(x_0')$ che contraddice l'iniettivita'. C'e' qualche imprecisione, ma lo schema della dim. e' corretto (e c'e' qualche dettaglio in piu' rispetto a quello che avevo detto io,
che comunque e' la stessa cosa).

Si "ViciusGoblin", hai ragione, ho scritto il tutto molto rapidamente e non ho specificato alcune cosette che comunque erano abbastanza ovvie.....Beh, l'importante era, per lo meno, rendere l'idea a "Zkeggia", poi se la sistemerà lui per bene...Ciao. [/quote]

No problem .... andiamo tutti per approssimazioni successive