Continuità della funzione integrale
Prendiamo una famiglia di funzioni ${f_t(x)}$ dove $x\inX$ e $t\inT$ con $X\subRR^N$ misurabile e $T$ uno spazio topologico.
[Dal momento che nel seguito considero solo integrali estesi ad $X$ con la misura di Lebesgue, uso la scrittura $Lambdag=int_xg(x)"d"x$.]
Vorrei trovare delle ipotesi su $f, X, T$ affinché la mappa $t\mapstoLambdaf_t$ sia continua in un fissato $t_0\inJ$.
Un set di ipotesi si può fabbricare passando dalla convergenza uniforme. Infatti, se supponiamo che:
a) $X$ sia compatto;
b) $f$ sia continua per $t\tot_0$ uniformemente per $x\inX$ (i.e. $f_t(x)\tof_(t_0)(x)$ uniformemente $forallx\inX$);
allora per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale possiamo dire che $lim_{t\tot_0}Lambdaf_t=Lambdaf_(t_0)$.
Ma si può fare di meglio? Questo set di ipotesi è fatto apposta per sfruttare il teorema di cui sopra. Come potremmo modificarlo per sfruttare dei teoremi più generali, come quello della convergenza monotona e della convergenza dominata?
[Dal momento che nel seguito considero solo integrali estesi ad $X$ con la misura di Lebesgue, uso la scrittura $Lambdag=int_xg(x)"d"x$.]
Vorrei trovare delle ipotesi su $f, X, T$ affinché la mappa $t\mapstoLambdaf_t$ sia continua in un fissato $t_0\inJ$.
Un set di ipotesi si può fabbricare passando dalla convergenza uniforme. Infatti, se supponiamo che:
a) $X$ sia compatto;
b) $f$ sia continua per $t\tot_0$ uniformemente per $x\inX$ (i.e. $f_t(x)\tof_(t_0)(x)$ uniformemente $forallx\inX$);
allora per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale possiamo dire che $lim_{t\tot_0}Lambdaf_t=Lambdaf_(t_0)$.
Ma si può fare di meglio? Questo set di ipotesi è fatto apposta per sfruttare il teorema di cui sopra. Come potremmo modificarlo per sfruttare dei teoremi più generali, come quello della convergenza monotona e della convergenza dominata?
Risposte
Per portare il limite sotto integrale, per convergenza dominata, basta supporre che esista in $L^1(X)$ una maggiorante q.o. di $\{|f_t|}_(t\in T)$ (oltre all'esistenza q.o. del limite $f_(t_0)(x)=lim_(t\to t_0) f_t(x)$, ovviamente).
Potremmo anche supporre che la famiglia di partenza sia di funzioni equintegrabili, e che converga puntualmente q.o. ad una funzione. Allora questa funzione è $L^1$ e si ha convergenza in $L^1$ della famiglia alla funzione limite puntuale.
In realtà ho cercato questo teorema negli appunti e ne ho trovato una versione per successioni, ma non penso che sia un problema, dato il risultato che vogliamo ottenere. Se volete pubblico il teorema (io lo appuntai come teorema di Vitali).
In realtà ho cercato questo teorema negli appunti e ne ho trovato una versione per successioni, ma non penso che sia un problema, dato il risultato che vogliamo ottenere. Se volete pubblico il teorema (io lo appuntai come teorema di Vitali).
In realtà questo topic è una sorta di continuazione di quest'altro:
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 35490.html
Qui abbiamo osservato che, data una funzione $f=f(x, t)$ reale di due variabili reali, la sola continuità in due variabili non è sufficiente a garantire che la $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ sia una funzione continua $RR\toRR$. (Nel link c'è un controesempio fornito da Gugo).
Questo però diventa vero se restringiamo la $x$ (e quindi anche il dominio di integrazione) ad un compatto, sempre richiedendo che $f$ sia continua. E questo è il risultato a cui accennavo nel primo post.
Ora mi chiedevo: se volessimo sfruttare i risultati a cui avete (Gugo e Gaal) fatto riferimento, riusciremmo ad arrivare ad un teorema come:
"sia data una $f=f(x, t)$ reale di due variabili reali, continua, verificante l'ipotesi [...]. Allora la funzione $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ è continua."
quindi non dovendo necessariamente supporre che $x$ vari in un compatto?
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 35490.html
Qui abbiamo osservato che, data una funzione $f=f(x, t)$ reale di due variabili reali, la sola continuità in due variabili non è sufficiente a garantire che la $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ sia una funzione continua $RR\toRR$. (Nel link c'è un controesempio fornito da Gugo).
Questo però diventa vero se restringiamo la $x$ (e quindi anche il dominio di integrazione) ad un compatto, sempre richiedendo che $f$ sia continua. E questo è il risultato a cui accennavo nel primo post.
Ora mi chiedevo: se volessimo sfruttare i risultati a cui avete (Gugo e Gaal) fatto riferimento, riusciremmo ad arrivare ad un teorema come:
"sia data una $f=f(x, t)$ reale di due variabili reali, continua, verificante l'ipotesi [...]. Allora la funzione $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ è continua."
quindi non dovendo necessariamente supporre che $x$ vari in un compatto?
Me n'ero accorto che era una continuazione di quel vecchio thread... 
Solo che qui, non so perchè, mi è venuta in mente subito la convergenza dominata, mentre lì no.
Ad ogni modo, l'applicazione del teorema di Lebesgue mi pare salvi tutto. Più semplice di così si muore, o no?
Solo che qui, non so perchè, mi è venuta in mente subito la convergenza dominata, mentre lì no.
Ad ogni modo, l'applicazione del teorema di Lebesgue mi pare salvi tutto. Più semplice di così si muore, o no?
Che tradotto in formule diventa:
sia $f:RRtimesRR\toRR$ continua. Se esiste una $g:RR\toRR$ sommabile tale che $|f(x,t)|<=g(x)$ per quasi ogni $x$, allora la funzione $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ è continua.
(sbaglio...?) Mi pare infatti che il tuo controesempio dell'altro thread falliva questo test.
E se invece prendessimo una maggiorazione dipendente da $t$, come $|f(x,t)|<=g(x, t)$ con $g\inL^1(RRtimesRR)$, che dici, funziona lo stesso?
sia $f:RRtimesRR\toRR$ continua. Se esiste una $g:RR\toRR$ sommabile tale che $|f(x,t)|<=g(x)$ per quasi ogni $x$, allora la funzione $t\mapstoint_RRf(x, t)"d"x$ è continua.
(sbaglio...?) Mi pare infatti che il tuo controesempio dell'altro thread falliva questo test.
E se invece prendessimo una maggiorazione dipendente da $t$, come $|f(x,t)|<=g(x, t)$ con $g\inL^1(RRtimesRR)$, che dici, funziona lo stesso?
Funziona lo stesso, a patto che tu supponga che si possa portare il limite sotto integrale per la $g(x,t)$.
Mutatis mutandis è la stessa cosa che ho dimostrato qui, solo che tu hai una variabile continua ($t$), mentre io avevo una variabile discreta ($n$)...
Si potrebbe fare così:
Che te ne pare?
Ovviamente per la dimostrazione si può usare la continuità per successioni ed applicare il mio risultato (per questo ho preso $T$ di Hausdorff; però suppongo si possa fare anche più in generale... probabilmente bisogna trovare una buona versione di Fatou).
Mutatis mutandis è la stessa cosa che ho dimostrato qui, solo che tu hai una variabile continua ($t$), mentre io avevo una variabile discreta ($n$)...
Si potrebbe fare così:
Siano $(X,\ccM ,mu)$ uno spazio di misura, $(T, tau)$ uno spazio topologico di Hausdorff (in particolare un intervallo di $RR$), $f: X\times T \to CC$ tale che $AA t\in T, f(\cdot ,t)$ sia misurabile, $t_0$ un punto d'accumulazione per $T$ e supponiamo che risulti $lim_(t \to t_0) f(x,t)=f(x,t_0)$ q.o. rispetto a $mu$.
Se esiste un'applicazione $g:X\times T \to [0,+oo [$ tale che:
1) $AA t \in T, g(\cdot ,t)$ è misurabile ed $L^1(mu)$;
2) $AA t in T, |f(\cdot ,t)|<=g(\cdot ,t)$ q.o. rispetto a $mu$;
3) $lim_(t \to t_0) g(x,t)=g(x,t_0)$ q.o. rispetto a $mu$;
4) $lim_(t \to t_0) \int_X g(x,t)" d"mu=\int_X g(x,t_0)" d"mu$;
allora risulta $AA t in T, f(\cdot ,t) \in L^1(mu)$ e si ha:
I) $lim_(t \to t_0) \int_X|f(x,t)-f(x,t_0)|" d"mu$ (cosicché $f(\cdot ,t)\to f(\cdot ,t_0)$ in $L^1(mu)$);
II) $lim_(t \to t_0) \int_X f(x,t)" d"mu=\int_X f(x,t_0)" d"mu$.
Che te ne pare?
Ovviamente per la dimostrazione si può usare la continuità per successioni ed applicare il mio risultato (per questo ho preso $T$ di Hausdorff; però suppongo si possa fare anche più in generale... probabilmente bisogna trovare una buona versione di Fatou).
Allora dissonance, ti è piaciuta l'idea oppure no?
Hai tentato una dimostrazione?
Hai tentato una dimostrazione?
Finalmente posso riprendere questo topic. Mi ero distratto per pensare alla geometria... Brutto vizio, la geometria. 
Riporto in breve l'enunciato del teorema che hai dimostrato nell'altro topic (correggimi se sbaglio):
Riporto in breve l'enunciato del teorema che hai dimostrato nell'altro topic (correggimi se sbaglio):
- Sia $(X, mu)$ uno spazio di misura e ${f_n}_(n=1)^infty$ una successione di funzioni $X\toCC$ misurabili tali che $f_n(x)\tof(x)$ per quasi ogni $x\inX$. Supponiamo che esistano ${g_n}_{n=1}^infty$ e $g$ in $L^p(mu)$, $1<=p
Ora tu dici: se anziché successioni ${f_n}$ consideriamo famiglie ${f_t}_{t\inT}$ dove $T$ è uno spazio topologico (però dobbiamo prenderlo di Hausdorff e, mi pare, anche 1-numerabile...sbaglio?) questo teorema diventa immediatamente il criterio di continuità dell'integrale che dicevi sopra.
Certo. Ad esempio, se $T$ è $RR$, l'esistenza di una funzione $g=g(x, t)$, sommabile in $RR^2$ e che domini la nostra $f=f(x, t)$ garantisce la continuità rispetto a $t$ dell'integrale $intf(x, t)"d"x$.
Non solo, ma analogamente possiamo garantire la continuità della $||f(*, t)||_p$ rispetto a $t$. Questo risponde in pieno alla domanda del mio post iniziale (soprattutto mi serviva togliere l'ipotesi di compattezza su $X$, e questo è fatto).
Tu poi suggerisci di ragionare sulle ipotesi di $T$ per vedere di toglierne qualcuna. Su questo punto io direi che il problema principale sta a monte, e cioè al teorema di B. Levi. Quel teorema vale per le successioni; si può formulare una versione analoga per famiglie di funzioni ${f_t}_{t\inT}$ a un parametro in uno spazio topologico qualsiasi? Probabilmente qualcosa si può fare, ma non saprei come rendere la monotonia in un caso come questo. Forse bisogna addirittura scomodare il concetto topologico di rete? Non sarà che sto esagerando con l'astrazione?
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