Continuità della funzione integrale

[salcap]

salve a tutti

mi chiamo salvo, ho 22 anni e studio (o almeno ci provo, dato che lavoro anche) matematica

allora

questa settimana sono arrivato agi integrali e il teorema fondamentale mi sta dando parecchi problemi

il teorema fondamentale del calcolo dice che:
1. se ho una funzione $ f : [a,b] -> RR $ limitata e integrabile sull'intervallo $ [a,b] $, allora la funzione integrale $ F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt $ è continua sull'intervallo $ [a,b] $
2. se poi la $ f $ è in particolare continua, allora la funzione integrale è una primitiva di $ f $, cioè $ F'(x) = f(x) $
3. con qualunque primitiva $ G $ di $ f $ ottengo $ int_{x}^{y} f(t) dt = G(y) - G(x) $ comunque presi $ x $ e $ y $ in $ [a,b]$

la cosa che mi da problemi è la continuità della funzione integrale ma non è che mi da problemi nel senso che ho problemi con la dimostrazione (quella l'ho capita) ma mi da problemi nel senso che non riesco a vederla nella pratica soprattutto quando ho i valori assoluti

abbiate pazienza cerco di farmi capire con degli esempi semplici

mettiamo per esempio che io ho $ int_{-1}^{1} | t | dt $
allora l'intervallo di integrazione è $ [a,b] = [-1,1] $, la funzione integranda è $ | t | $ e questa funzione è continua su tutto l'intervallo e derivabile su tutto l'intervallo tranne in $ t = 0 $
il teorema fondamentale mi dice allora che la funzione integrale $ F(x) = int_{-1}^{x} | t | dt $ è continua pure lei nell'intervallo $ [-1,1] $ con la $ x $ che varia su questo intervallo
e ci credo, cioè lo riesco a vedere
infatti quando $ -1 <= t < 0 $, l'integranda diventa $ - t $ e $ int -t dt = -t^2/2 $
quando $ 0 <= t <= 1 $, l'integranda diventa $ t $ e $ int t dt = t^2/2$
e allora $ F(x) = int_{-1}^{x} | t | dt = G(x) - G(-1) $ e allora per calcolare $G(-1)$ uso $ -t^2/2$ e per calcolare $G(x)$ uso $-t^2/2$ oppure $t^2/2$ a seconda di dove sta $x$, cioè:
- quando $ - 1 <= x < 0 $ ho $G(x) - G(-1) = -x^2/2 - (- (-1)^2/2) = -x^2/2 + 1/2 $
- quando $ 0 <= x <= 1 $ ho $ G(x) - G(-1) = x^2/2 - (-(-1)^2/2) = x^2/2 + 1/2 $
in altre parole la funzione integrale è definita per casi
$F(x) = \{(-x^2/2 + 1/2, if -1<= x < 0),(x^2/2 + 1/2, if 0<= x <= 1):}$
e questa è continua anche in $ x = 0$ perché il limite viene $1/2$ sia col caso si sopra sia col caso di sotto

ma se per esempio prendo $ int_{0}^{2pi} | sin t | dt $ non riesco a trovarmi come sopra!
guardate qua: $ | sin t | $ è definita su $ [0,2pi] $, è continua su $ [0,2pi] $ ed è derivabile tranne in $ t = pi $
secondo il teorema fondamentale la funzione integrale $ F(x) = int_{0}^{x} | sin t | dt $ dovrebbe essere allora continua su $ [0,2pi] $ con $ x$ che varia da $0 $ a $2pi$ ma io mi trovo che non è continua
perché quando $ 0 <= t <= pi $ l'integranda diventa $ sin t $ e allora $ int sin t dt = - cos t $
quando $ pi < t <= 2pi $ l'integranda diventa $ - sin t $ e allora $ int -sin t dt = cos t $
imposto $ F(x) = int_{0}^{x} |sint| dt = G(x) - G(0) $ con $ x $ che varia da $ 0 $ a $2pi$, per calcolare $ G(0) $ uso $-cost$ e per calcolare $G(x)$ guardo dove cade $x$ e allora
- per $ 0 <= x <= pi$ ho $G(x) - G(0) = -cos x - (-cos(0)) = -cos x - (-(1)) = -cos x + 1$
- per $ pi < x <= 2pi $ ho $ G(x)-G(0) = cos x - (-cos(0)) = cos x - (-(1)) = cos x + 1$
e di nuovo $F(x)$ è definita per casi
$F(x) = \{(- cos x + 1, if 0<= x <= pi),(cos x + 1, if pi< x <= 2pi):}$
però questa volta in $ x= pi$ la funzione integrale non è continua

domanda: dove sbaglio?
grazie

[anto_zoolander]

Io ho aperto un post simile ieri.

Dal teorema fondamentale del calcolo sappiamo che se $F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt$ è continua in $[a,b]$, con $x in[a,b]$ allora è derivabile e la derivata è $F'(x)=f(x)$

Ti dico quello che ho pensato io:

Intanto prendiamo $F(x)=int_{a}^{x}|f(t)|dt=[F(t)sign(f(t))]_{a}^{x}$

$F(t)sign(f(t))$ deve essere continua su $[a,b]$

Allora io ho pensato questo.. se è vero che $F'(t)=D[intf(t)dt+c]=D[intf(t)dt]$ allora considero

$F(x)=int_{a}^{x}|f(t)|dt=[(F(t)+c)sign(f(t))]_{a}^{x}$ ed impongo che la funzione sia continua in quell'intervallo.

Così ho risolto $int_{0}^{2pi}|sinx|dx$, ti riporto il post sotto spoiler.

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=160833

Sto aspettando che mi diano conferme

Una funzione considera che è integrabile secondo riemann se ammette un numero finito di discontinuità.

[donald_zeka]

$F(x)=int_(0)^(x)sintdt$ se $0<=x<=pi$.

$F(x)=int_(0)^(pi)sintdt+int_(pi)^(x)-sintdt$ se $pi

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