Continuità della derivata

[Flaviuz1]

Non riesco a capire come possa una funzione derivabile avere la derivata non continua: la definizione dice che $f$ è continua in $x_0$ se esiste ed è finito il limite $lim_(x to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0)$. Ora, come può la derivata può non essere continua?

A tal proposito ho visto un esempio che però non mi ha per niente chiarito le idee: $f(x)={\(x^2*sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$
Si ha che $f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)$ con $x!=0$, ma cosa succede in $x=0$? Se si calcolano i limiti a $0$ da destra e da sinistra del rapporto incrementale si ottiene che il limite non esiste, mentre se si calcola il limite del rapporto incrementale si ottiene il valore di $0$... a me verrebbe da dire che la derivata non è continua in $0$ perchè non esiste, ma penso che la risposta sia un'altra. Potrebbe essere che la funzione derivata è definita in $0$ perchè esiste il limite del rapporto incrementale, ma non è continua perchè i limiti da destra e sinistra della funzione derivata non esistono?

[ciampax]

La definizione di continuità dice, in soldoni (anche se non è la definizone rigorosa) che devono esistere finiti il limite della funzione in quel punto e il suo valore ed essere uguali. Qui ti trovi nella situazione in cui il valore esiste (lo calcoli con il rapporto incrementale) ma non esiste il limite della funzione derivata.