Continuità analisi complessa

[virgil911]

Salve ho un dubbio sulla continuità della banalissima funzione $ f(z)=z $
Per quello che ho capito la continuità può essere vista in due modi... o vedendo la funzione come fatta da un unica variabile complessa(e quindi con la relativa definizione di continuità) oppure vedendola come coppia di funzioni reali u e v.
Se le funzioni $ u(x,y) v(x,y) $ sono continue allora la $ f(z)$ è continua. Il problema è : siccome posso scrivere z come $ |z|e^(iArg(z)) $ ed essendo l'argomento discontinuo, non dovrebbe essere discontinua?
Dove sto sbagliando?

[virgil911]

nessun aiuto?:(

[dedalus1]

Ciao,
la definizione più generale di continuità complessa è analoga a quella per le funzioni reali, cioè: \(\displaystyle f(z) \) è continua in \(\displaystyle z_{0} \) se \(\displaystyle \lim_{z \to \ z_{0}}f(z)=f(z_{0}) \). Se ho capito la tua perplessità, quella che tu indichi come "discontinuità" di \(\displaystyle Arg(z) \) è stata introdotta per ovviare al fatto che \(\displaystyle arctg(y/x) \) darebbe valori solo in un semipiano \(\displaystyle [-\pi/2,\pi/2] \): per non perdere quindi l'informazione legata ai semipiani di appartenenza, perciò, si è definito per \(\displaystyle Arg(z)=arctg(y/x)+\pi \) per x Aggiungo che,come tu stesso hai detto, la funzione \(\displaystyle f(z) \), che può essere sempre espressa come \(\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\), è continua se e solo se lo sono \(\displaystyle u(x,y) \) e \(\displaystyle v(x,y) \): questo non implica in nessun modo che lo debba essere anche \(\displaystyle Arg(z) \).
Spero di esserti stato d'aiuto.

Flavio

[ViciousGoblin]

"virgil91":Salve ho un dubbio sulla continuità della banalissima funzione $ f(z)=z $
Per quello che ho capito la continuità può essere vista in due modi... o vedendo la funzione come fatta da un unica variabile complessa(e quindi con la relativa definizione di continuità) oppure vedendola come coppia di funzioni reali u e v.
Se le funzioni $ u(x,y) v(x,y) $ sono continue allora la $ f(z)$ è continua. Il problema è : siccome posso scrivere z come $ |z|e^(iArg(z)) $ ed essendo l'argomento discontinuo, non dovrebbe essere discontinua?
Dove sto sbagliando?

Aggiungo un commento a quello di dedalus.
Mi pare che il tuo dubbio nasca dal ritenere che "composizione di funzioni discontinue" sia per forza discontinua (per analogia - immagino - con il fatto vero che "composizione di funzioni continue" è continua). Questo non è vero, per esempio la funzione segno: $sgn(x):=x/|x|$ (messa $1$ in $0$) è discontinua, ma il suo quadrato è continuo.
Nel tuo caso hai una situazione simile: è vero che $Arg(z)$ tende a $0$ se $z\to0$ e $Im(z)>0$ mentre $Arg(z)$ tende a $2\pi$ se $z\to0$ e $Im(z)<0$, però quando lo metti nell'esponenziale la discontinuità sparisce dato che $e^{0i}=e^{2\pi i}=1$