Continuità,...
Ho questa funzione $f:RR^2-->RR$ definita da:
$f(x,y)=y^2/x$ se $x!=0$ altrimenti $f(x,y)=0$
relativamente all'origine si studino
-continuità:
per essere verificata deve valere
$lim_(x->a) f(x)=f(a)$
il problema è che nel multidimensionale ci sono, non 2, molte direzioni possibili.
allora ricorrendo ad un suggerimento che mi è stato fatto in un altro post direi
pongo $y=mx$ per ogni $m inRR$ ed ho
$lim_(x->(0,0)) y^2/x=lim_(x->(0,0)) x^2*m^2/x=lim_(x->(0,0)) xm^2=0$
quindi c'è la continuità.
Intuitivamente il nominatore converge a zero più velocemente quindi il risultato tende ad annullarsi
se il quadrato era a denominatore il limite divergeva e non avevamo la continuità.
-derivabilità
è sufficiente l'esistenza delle derivate parziali
$f'_x=lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=lim_(h->0) (0-0)/h=0$
$f'_y=lim_(h->0)(f(0,0+h)-f(0,0))/h=lim_(h->0) (0-0)/h=0$
è derivabile
-differenziabilità
se ho ben capito deve valere
i)derivate parziali devono esistere in un'intorno di $a$
ii)devono essere continue in $a$
per la prima mi invento un tentativo:
definisco l'intorno di $a$ come $b=(k,k)$ con k piccoli a piacere
allora
$f'_x=lim_(h->0)(f(k+h,k)-f(k,k))/h=lim_(h->0) ((k^2/(k+h))-(k^2/k))/h=$
$=(h(k^2-(k^2+hk)))/h=-kh$ che è un numero per ogni $k in RR$
quindi ci siamo
ii) $f'_x=y^2log(x)$ che è continua per ogni coppia $(x,y)$, quindi anche in $a$
$f'_y=2y/x$ che non è definita per $x=0$ quindi non è continua in tale punto(?).
per un pelo la nostra $f(x,y)$ non è differenziabile.
Ho detto castronerie?
se ho ragione mi sono espresso in modo appropriato?
$f(x,y)=y^2/x$ se $x!=0$ altrimenti $f(x,y)=0$
relativamente all'origine si studino
-continuità:
per essere verificata deve valere
$lim_(x->a) f(x)=f(a)$
il problema è che nel multidimensionale ci sono, non 2, molte direzioni possibili.
allora ricorrendo ad un suggerimento che mi è stato fatto in un altro post direi
pongo $y=mx$ per ogni $m inRR$ ed ho
$lim_(x->(0,0)) y^2/x=lim_(x->(0,0)) x^2*m^2/x=lim_(x->(0,0)) xm^2=0$
quindi c'è la continuità.
Intuitivamente il nominatore converge a zero più velocemente quindi il risultato tende ad annullarsi
se il quadrato era a denominatore il limite divergeva e non avevamo la continuità.
-derivabilità
è sufficiente l'esistenza delle derivate parziali
$f'_x=lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=lim_(h->0) (0-0)/h=0$
$f'_y=lim_(h->0)(f(0,0+h)-f(0,0))/h=lim_(h->0) (0-0)/h=0$
è derivabile
-differenziabilità
se ho ben capito deve valere
i)derivate parziali devono esistere in un'intorno di $a$
ii)devono essere continue in $a$
per la prima mi invento un tentativo:
definisco l'intorno di $a$ come $b=(k,k)$ con k piccoli a piacere
allora
$f'_x=lim_(h->0)(f(k+h,k)-f(k,k))/h=lim_(h->0) ((k^2/(k+h))-(k^2/k))/h=$
$=(h(k^2-(k^2+hk)))/h=-kh$ che è un numero per ogni $k in RR$
quindi ci siamo
ii) $f'_x=y^2log(x)$ che è continua per ogni coppia $(x,y)$, quindi anche in $a$
$f'_y=2y/x$ che non è definita per $x=0$ quindi non è continua in tale punto(?).
per un pelo la nostra $f(x,y)$ non è differenziabile.
Ho detto castronerie?
se ho ragione mi sono espresso in modo appropriato?
Risposte
la funzione non è continua nel'origine...Dev'esserlo lungo tutti i cammini, non solo lungo le rette.
Ad esempio se prendi il cammino $y=sqrt(x)$ ti accorgi che $f(x,y)|_(y=sqrtx)=x/x->1$ per $x-> 0^+$...
Di certo non può esser quindi nemmeno differenziabile nell'origine...
Ad esempio se prendi il cammino $y=sqrt(x)$ ti accorgi che $f(x,y)|_(y=sqrtx)=x/x->1$ per $x-> 0^+$...
Di certo non può esser quindi nemmeno differenziabile nell'origine...
Ok ho capito, avrei però alcune domande:
-le derivate parziali sono giuste vero?
-oltre all'esperienza diciamo esiste una procedura da seguire
per non perdersi qualche "strada" per la verifica della non continuità?
-quello che ho scritto sulla non differenziabilità
è corretto?
Inoltre, una volta che ho sbagliato sulla continuità
dicendo che c'è, quando invece non c'è
passando al ragionamento applicato sulla diff.
potrei anche fare l'errore di dire che è diff.?
O forse, a meno di altri errori anche
in questa fase, la diff. non sarebbe mai verificata, e quindi dedurrei un campanello d'allarme
sulla continuità prima ottenuta ?
ripeto parlo solo di campanello d'allarme
perché so che esistono funzioni continue non differenziabili
-le derivate parziali sono giuste vero?
-oltre all'esperienza diciamo esiste una procedura da seguire
per non perdersi qualche "strada" per la verifica della non continuità?
-quello che ho scritto sulla non differenziabilità
è corretto?
Inoltre, una volta che ho sbagliato sulla continuità
dicendo che c'è, quando invece non c'è
passando al ragionamento applicato sulla diff.
potrei anche fare l'errore di dire che è diff.?
O forse, a meno di altri errori anche
in questa fase, la diff. non sarebbe mai verificata, e quindi dedurrei un campanello d'allarme
sulla continuità prima ottenuta ?
ripeto parlo solo di campanello d'allarme
perché so che esistono funzioni continue non differenziabili
Qualcuno sa darmi lumi?
Le derivate parziali sono correttissime. 
In mancanza della continuità non vi è differenziabilità.
In mancanza della continuità non vi è differenziabilità.
[mod="dissonance"]@markowitz: Non è ammissibile che un utente con 200+ post ignori così la regola sugli "UP".
Chiudo.[/mod]
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