Continuità
Sia f(x) definita come segue:
${arctg2x^2 $ se x appartiene a Q
${arctx^3$ se x appartiene a R\Q
dire se esistono i limiti per x ->-oo e x->+oo ( ho risposto no per il primo, si per il secondo)
quasi sono i punti in cui f è continua ( avevo pensato di scrivere ma non so se corretto arctg2x^2=arctgx^3 e risolvere equazione anche se la cosa non mi convince tanto dal momento che per definizione una funzione è continua in un punto se esiste il limite..)
di che tipo sono i punti di discontinuità per la funzione f.
se è vero che la restrizione di f all'intervallo [1/2,$sqrt2$] è dotata di minimo e di massimo.
non so se il mio modo di procedere per i primi due quesiti è corretto ( per il primo la risposta sintetica ma avevo calcolato i limiti e mentre x^2 è una funzione pari, x^3 è dispari....non so se regge come discorso ma i limiti sono diversi per x->-oo).
vi prego di perdonarmi se nel punto 2 ho detto cavolate ma un concetto ancora oscuro per me è la ricerca dei punti di discontinuità e di continuità...
vi ringrazio,
alex
${arctg2x^2 $ se x appartiene a Q
${arctx^3$ se x appartiene a R\Q
dire se esistono i limiti per x ->-oo e x->+oo ( ho risposto no per il primo, si per il secondo)
quasi sono i punti in cui f è continua ( avevo pensato di scrivere ma non so se corretto arctg2x^2=arctgx^3 e risolvere equazione anche se la cosa non mi convince tanto dal momento che per definizione una funzione è continua in un punto se esiste il limite..)
di che tipo sono i punti di discontinuità per la funzione f.
se è vero che la restrizione di f all'intervallo [1/2,$sqrt2$] è dotata di minimo e di massimo.
non so se il mio modo di procedere per i primi due quesiti è corretto ( per il primo la risposta sintetica ma avevo calcolato i limiti e mentre x^2 è una funzione pari, x^3 è dispari....non so se regge come discorso ma i limiti sono diversi per x->-oo).
vi prego di perdonarmi se nel punto 2 ho detto cavolate ma un concetto ancora oscuro per me è la ricerca dei punti di discontinuità e di continuità...
vi ringrazio,
alex
Risposte
Ma secondo me non hai detto cavolate. Il fatto è che dovresti motivare le tue risposte. Pensa alle definizioni teoriche che conosci di limite e di continuità e vedi se e come le puoi applicare.
"dissonance":
Ma secondo me non hai detto cavolate. Il fatto è che dovresti motivare le tue risposte. Pensa alle definizioni teoriche che conosci di limite e di continuità e vedi se e come le puoi applicare.
per la 1 ho semplicemente calcolato i limiti delle funzioni e poichè per x->-oo sono risultati diversi, per il teorema dell'unicità del limite sono arrivato alla conclusione che non esiste. mentre per x->+oo il limite è = a pi/2.
Per il secondo punto invece avevo pensato di sostituire x con un generico punto c e di calcolare l'immagine (f(c)) delle singole due funzioni e poi verificare l'uguaglianza ( per la continuità nel punto). così trovo c=0 e c=2 in ci la f è continua. tutti gli altri punti dovrebbe quindi essere di discontinuità. ma non so di che specie si trattino. mm...per l'ultimo punto devo verificare se vi è massimo e/o minimo. L'insieme immagine f[1/2,sqrt2] ha come estremi arctg1/8 e arctg4..ma non so trarne conclusioni...parzialmente spero di aver detto qualcosa di corretto.
ti ringrazio, alex
Io ti consiglio di usare la caratterizzazione dei limiti di funzioni come limiti di successioni. Cioé:
$lim_{x\tox_0}\ f(x)=l$ se e solo se $\forall (x_n)_{n\inNN}$ successione convergente ad $x_0$, con $x_n!=x_0\ \forall n\inNN$, risulta che $f(x_n)\tol$. A parole: il limite ad $x_0$ esiste ed è $l$ se e solo se comunque ti avvicini ad $x_0$ con una successione, ottieni una successione che si avvicina ad $l$. (Spero di essere stato chiaro, comunque questa proprietà penso che tu la conosca, ed è anche più intuitiva di quanto non sembri).
Questo è un buonissimo sistema per dimostrare che un limite non esiste, specialmente per funzioni come la tua: infatti puoi avvicinarti ad ogni punto $x_0$ con successioni di numeri razionali, o anche di numeri irrazionali (se hai dei dubbi su questo chiedi pure).
Ad esempio, la dimostrazione del fatto che il limite a $-\infty$ non esiste diventa, con questo teorema:
consideriamo una successione $x_n\inQQ$ ed una successione $y_n\inRR-QQ$, entrambe $\to-\infty$. Allora $f(x_n)=arctan(2x_n^2)\to pi/2$ per $n\to+\infty$. Invece $f(y_n)=arctan(y_n^3)\to-pi/2$. Questo basta a dire che il limite non esiste (se esistesse, dovresti ottenere lo stesso risultato indipendentemente dalla scelta di una successione che $\to-\infty$). (EDIT: Il discorso, in sostanza, è quello che hai fatto tu. Però qui sto usando la caratterizzazione dei limiti mediante limiti di successione.)
Sono stato abbastanza chiaro? Per me è questo lo strumento migliore per affrontare un problema di questo genere. Se vuoi, prova ad applicarlo ad un punto generico $x_0$, che non sia $+-\infty$ visto che questi casi li hai già visti. Ricordati che una funzione è continua in un punto $x_0$, di accumulazione del suo dominio, se e solo se $lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$.
$lim_{x\tox_0}\ f(x)=l$ se e solo se $\forall (x_n)_{n\inNN}$ successione convergente ad $x_0$, con $x_n!=x_0\ \forall n\inNN$, risulta che $f(x_n)\tol$. A parole: il limite ad $x_0$ esiste ed è $l$ se e solo se comunque ti avvicini ad $x_0$ con una successione, ottieni una successione che si avvicina ad $l$. (Spero di essere stato chiaro, comunque questa proprietà penso che tu la conosca, ed è anche più intuitiva di quanto non sembri).
Questo è un buonissimo sistema per dimostrare che un limite non esiste, specialmente per funzioni come la tua: infatti puoi avvicinarti ad ogni punto $x_0$ con successioni di numeri razionali, o anche di numeri irrazionali (se hai dei dubbi su questo chiedi pure).
Ad esempio, la dimostrazione del fatto che il limite a $-\infty$ non esiste diventa, con questo teorema:
consideriamo una successione $x_n\inQQ$ ed una successione $y_n\inRR-QQ$, entrambe $\to-\infty$. Allora $f(x_n)=arctan(2x_n^2)\to pi/2$ per $n\to+\infty$. Invece $f(y_n)=arctan(y_n^3)\to-pi/2$. Questo basta a dire che il limite non esiste (se esistesse, dovresti ottenere lo stesso risultato indipendentemente dalla scelta di una successione che $\to-\infty$). (EDIT: Il discorso, in sostanza, è quello che hai fatto tu. Però qui sto usando la caratterizzazione dei limiti mediante limiti di successione.)
Sono stato abbastanza chiaro? Per me è questo lo strumento migliore per affrontare un problema di questo genere. Se vuoi, prova ad applicarlo ad un punto generico $x_0$, che non sia $+-\infty$ visto che questi casi li hai già visti. Ricordati che una funzione è continua in un punto $x_0$, di accumulazione del suo dominio, se e solo se $lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$.
sei stato molto chiar Giuseppe e ti ringrazio per l'aiuto. Effettivamente come tu mi hai suggerito è forma corretta di quanto io ho espresso in modo alquanto informale:)
grazie ancora,
alex
grazie ancora,
alex
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