Continuità
Al liceo mi avevano dato l'approssimativa idea che una funzione è continua quando puoi disegnarla senza staccare la penna dal foglio... non è affatto ortodossa questa proposizione, ma per i ragazzi del liceo che per la prima volta si imbattono nello studio di funzione può risultare efficace. Ora mi domando: alla luce del ben più generale concetto di continuità in topologia (la continuità è dunque una proprietà topologica del dominio e del codominio e non del tipo di trasformazione che una funzione opera) che significato ha la continuità?
Cerco di spiegarmi meglio: il fatto che l'immagine di ogni aperto del codominio sia un aperto nel dominio che importanza ha?
Immagino ne abbia molta visto che i testi di topologia ne parlano in lungo e in largo, ma al momento non riesco a coglierla...
Cerco di spiegarmi meglio: il fatto che l'immagine di ogni aperto del codominio sia un aperto nel dominio che importanza ha?
Immagino ne abbia molta visto che i testi di topologia ne parlano in lungo e in largo, ma al momento non riesco a coglierla...
Risposte
La definizione di continuità per una funzione tra spazi topologici non è decisamente intuitiva come quella per funzioni da $\RR$ in $\RR$.
Tale definizione discende dall'aver cercato una condizione equivalente alla continuità tra spazi metrici (definizione ancora abbastanza intuitiva) che funzionasse solo con il concetto di aperto, e si è arrivati a quella che sappiamo noi: una funzione continua tra due spazi topologici è tale se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto.
Questo modo di procedere è abbastanza comune in Matematica: ogni volta che si dà una definizione. essa deve ricadere nei casi già noti se l'ambiente più generale diventa quello noto. Per la continuità in realtà siamo stati ancora "fortunati"; a volte la generalizzazione di definizioni non è affatto facile. Basti pensare alla costruzione dello spazio tangente ad una varietà differenziabile. Se uno è in $\RR^n$ tutto va bene, basta prendere l'immagine del differenziale di una parametrizzazione; ma se uno ha una varietà non immersa in un ambiente euclideo, allora è molto più complicato andare a dire chi sono i vettori tangenti alla varietà.
Tale definizione discende dall'aver cercato una condizione equivalente alla continuità tra spazi metrici (definizione ancora abbastanza intuitiva) che funzionasse solo con il concetto di aperto, e si è arrivati a quella che sappiamo noi: una funzione continua tra due spazi topologici è tale se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto.
Questo modo di procedere è abbastanza comune in Matematica: ogni volta che si dà una definizione. essa deve ricadere nei casi già noti se l'ambiente più generale diventa quello noto. Per la continuità in realtà siamo stati ancora "fortunati"; a volte la generalizzazione di definizioni non è affatto facile. Basti pensare alla costruzione dello spazio tangente ad una varietà differenziabile. Se uno è in $\RR^n$ tutto va bene, basta prendere l'immagine del differenziale di una parametrizzazione; ma se uno ha una varietà non immersa in un ambiente euclideo, allora è molto più complicato andare a dire chi sono i vettori tangenti alla varietà.
Luca potresti scrivermi la definizione di funzione continua per gli spazi metrici? (mica è quella con gli intorni?)
Inoltre, il livello di astrazione raggiunto con le definizioni topologiche è il più alto in assoluto?
Inoltre, il livello di astrazione raggiunto con le definizioni topologiche è il più alto in assoluto?
La continuità tra spazi metrici ha la stessa definizione della continuità da $\R$ in $\R$; solo che invece di $|x-y|$ si prende $d(x,y)$. Quindi non hai nessuna differenza sostanziale, e per giunta puoi ancora caratterizzare la continuità per successioni: una funzione $f$ tra spazi metrici è continua se e solo se $f(x_n) -> f(x)$ per ogni successione $x_n \to x$, cosa che invece non è vera se gli spazi sono solo topologici, e la topologia non è indotta da una metrica.
Il livello di generalità degli spazi topologici, per il punto di vista dell'Analisi, è il massimo possibile. E' per questo che si è soliti dire che la topologia generale è il fondamento dell'Analisi Matematica.
Il livello di generalità degli spazi topologici, per il punto di vista dell'Analisi, è il massimo possibile. E' per questo che si è soliti dire che la topologia generale è il fondamento dell'Analisi Matematica.
Beh, è un po' OT ma devo aprire il mio cuore, sono al secondo anno di Fisica e dovendo scegliere un corso qualsiasi supplementare ho deciseo di seguirne uno di Topologia generale a Matematica, beh, da allora sono un altro uomo, non riesco a capacitarmi di come abbia fatto a vivere prima.
Sinceramente credo che la definizione topologica di continuità sia molto più intuitiva di quella analitica, e soprattutto, molto più elegante e generale.
Vabbè, sfogo finito.
Sinceramente credo che la definizione topologica di continuità sia molto più intuitiva di quella analitica, e soprattutto, molto più elegante e generale.
Vabbè, sfogo finito.
"Maxos":
Sinceramente credo che la definizione topologica di continuità sia molto più intuitiva di quella analitica, e soprattutto, molto più elegante e generale.
a questo punto, un po' di minimalismo non guasta:
la def topologica di continuità non è altro che l'astrazione del teorema di permanenza del segno...
Sì ma per me l'astrazione è come una droga, infatti frequento Fisica, lì te la danno a piccole dosi.
"Fioravante Patrone":
la def topologica di continuità non è altro che l'astrazione del teorema di permanenza del segno...
Potresti spiegarmi perché?
Sia data $f:RR->RR$, continua
Allora, il teorema della permanenza del segno mi dice che per ogni $x$ t.c. $f(x)>0$ allora c'è un intorno $U$ di $x$ t.c. $f(x)>0$ $AA \ y \in U$
Quindi la controimmagine di $]0,+oo[$ è un aperto (un aperto è intorno di ogni suo punto)...
Io mi sono spiegato così "da dove venga" la def topologica di continuità. Naturalmente (questo farà contento calimerro) nessuno dei miei prof si è mai preoccupato di raccontare alcunché a questo proposito.
Allora, il teorema della permanenza del segno mi dice che per ogni $x$ t.c. $f(x)>0$ allora c'è un intorno $U$ di $x$ t.c. $f(x)>0$ $AA \ y \in U$
Quindi la controimmagine di $]0,+oo[$ è un aperto (un aperto è intorno di ogni suo punto)...
Io mi sono spiegato così "da dove venga" la def topologica di continuità. Naturalmente (questo farà contento calimerro) nessuno dei miei prof si è mai preoccupato di raccontare alcunché a questo proposito.
non so perché ma al posto di $RR$ vedo un rettangolo... è un problema solo mio?
io vedo il solito simbolo dei numeri reali (nel mio e nel tuo post)
io invece vedo bene tutti i simboli, eccetto che la lettera R dei reali... ho notato che me lo fa anche per N, perfino nei miei post. mi è successo dopo aver installato equation editor su word... magari potrebbe aver avuto degli effetti collaterali?
La butto lì: secondo me una funzione è continua se, intuitivamente, manda punti vicini in punti vicini. La topologia su un insieme, intuitivamente, mi dice quali sono i punti vicini ad dato punto.
Con la tua idea non si vede perchè allora non dire che una funzione è continua se manda aperti in aperti. Invece questa definizione non funziona.
Vero, mi viene in mente un esempio... $id:(RR,$discreta$)to(RR,$indiscreta$)$ è continua senza ombra di dubbio, ma manda soltanto $2$ aperti in altrettanti aperti, mentre manda una quantità non numerabile (superiore alla potenza del continuo) di aperti in insiemi che non sono aperti
una volta tanto non sono d'accordo con Luca
naturalmente non si parla di mate (un analista standard ed uno che lo è stato [senza rinnegare il passato] non possono avere divergenze matematiche su questi temi), ma di interpretazioni, di letture "intuitive"
mi riferisco alla risposta che Luca ha dato a ficus2002
io "leggo" la idea intuitiva di ficus2002 come corrispondente alla nozioe di continuità per funzioni fra spazi metrici e che poi viene generalizzata, in topologia, con il linguaggio degli intorni
non la "leggo" come dice Luca, ovvero come richiedere che mandi aperti in aperti
naturalmente non si parla di mate (un analista standard ed uno che lo è stato [senza rinnegare il passato] non possono avere divergenze matematiche su questi temi), ma di interpretazioni, di letture "intuitive"
mi riferisco alla risposta che Luca ha dato a ficus2002
io "leggo" la idea intuitiva di ficus2002 come corrispondente alla nozioe di continuità per funzioni fra spazi metrici e che poi viene generalizzata, in topologia, con il linguaggio degli intorni
non la "leggo" come dice Luca, ovvero come richiedere che mandi aperti in aperti
"Luca.Lussardi":
Con la tua idea non si vede perchè allora non dire che una funzione è continua se manda aperti in aperti. Invece questa definizione non funziona.
non sono convinto di questo: infatti se una funzione manda aperti in aperti non manda necessariamente punti vicini in punti vicini perchè l'immagine dell'aperto può essere "grande" quindi la funzione può mandare punti vicini in punti lontani.
Con la definizione standard, invece, (cioè la controimmagine di un aperto è aperto), l'aperto che sta nel codominio (cioè quello di cui faccio la controimmagine) lo posso scegliere "piccolo" quanto voglio (mi viene in mente "un $\epsilon$" piccolo a piacere"...). Quindi posso controllare a priori dove i punti della controimmagine andranno a finire.
Io mi son sempre figurato la definizione topologica di continuità in questo modo: se io so "muovermi" nei "luoghi" (aperti) del dominio, questa informazione mi è sufficiente (anche necessaria per un omeomorfismo) per muovermi nel codominio, fatte le opportune associazioni.
Non sono completamente convinto; per me dire che una funzione manda punti vicini in punti vicini non mi richiama direttamente la definizione con l'uso delle controimmagini, almeno a me no, non riesco ad associare ad intuito l'uso di dover fare questa "complicata" operazione di controimmagine. Per vedere che è essa quella che veramente funziona devo sempre vedere che non funziona quella che fa uso delle immagini della funzione, allora sì mi convinco.
Comunque io rimango dell'opinione che la miglior definizione di continuità sia quella per successioni. In fin dei conti sono le successioni gli oggetti che veramente la nostra mente richiama quando pensiamo ad un limite: prendiamo valori via via vicini a $x_0$ e vediamo che fa $f(x)$. Stessa cosa per la continuità. Purtroppo in ambiente puramente topologico la continuità non si caratterizza più così, e uno trova però la caratterizzazione in termini di aperti.
Comunque io rimango dell'opinione che la miglior definizione di continuità sia quella per successioni. In fin dei conti sono le successioni gli oggetti che veramente la nostra mente richiama quando pensiamo ad un limite: prendiamo valori via via vicini a $x_0$ e vediamo che fa $f(x)$. Stessa cosa per la continuità. Purtroppo in ambiente puramente topologico la continuità non si caratterizza più così, e uno trova però la caratterizzazione in termini di aperti.
"Luca.Lussardi":
Comunque io rimango dell'opinione che la miglior definizione di continuità sia quella per successioni. In fin dei conti sono le successioni gli oggetti che veramente la nostra mente richiama quando pensiamo ad un limite: prendiamo valori via via vicini a $x_0$ e vediamo che fa $f(x)$. Stessa cosa per la continuità. Purtroppo in ambiente puramente topologico la continuità non si caratterizza più così, e uno trova però la caratterizzazione in termini di aperti.
figurati io, che sono stato allevato (come corsi di analisi, intendo) da Cecconi...
aggiungo, rispetto a quello che dici sopra, che l'idea delle successioni si generalizza agli spazi topologici. Naturalmente, non bastano le successioni solite, occorrono "successioni generalizzate" (o "nets": vedi "Convergenza di Moore-Smith sul Kelley). Visto che non c'è dubbio che conosci questa roba, ne deduco che non ti "ispirano" molto... Ti posso capire! E i filtri, c'è qualcuno che se ne sente attratto irresistibilmente?
"Fioravante Patrone":
E i filtri, c'è qualcuno che se ne sente attratto irresistibilmente?
Fioravante, hai pronunciato la parola magica... filtri! Io mi ci sono divertito come un matto, sia in topologia sia in algebra! Vedi teorema di Tychonov e roba simile. Non li dimenticherò mai i filtri... e nemmeno i loro fratelli maggiori, gli ultrafiltri!!
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