Continuità

[artas1]

Perchè se una funzione è derivabile in un punto è ivi continua?

[dazuco]

partiamo da questa uguaglianza

(f(x - h) - f(x) / h) = (f(x - h) - f(x) / h)

quindi

f(x-h) = [(f(x - h) - f(x) / h) * h - f(x)]

quindi

lim f(x-h) = f(x)
x->0

ciao

[artas1]

Scusa ma non riesco ancora a capire come si arriva a dire
lim f(x-h) = f(x)
x->0

[goblyn]

dazuco intendeva h-->0 non x-->0. Inoltre a secondo membro della seconda equazione ci deve essere scritto +f(x) e non -f(x).

Quando h-->0:

(f(x - h) - f(x) / h) --> f'(x)

e questo ce lo assicura il fatto che f sia derivabile in x. E' questo il punto chiave.

Quindi il limite diventa:

f'(x)*h + f(x) --> f(x)

e quindi la funzione è continua.

[dazuco]

mi scuso per gli errori.
ho scritto frettolosamente senza ricontrollare.

[artas1]

Beh sarò di coccio ma ancora non capisco, qualcuno potrebbe spiegarmi gentilmente passo passo tutti i passaggi?

[Sk_Anonymous]

Cominciamo col ricordare che una funzione e'
continua in un punto x0 se esiste il limite di f(x)
per x-->x0 e tale limite e' uguale a f(x0):
limf(x)=f(x0)
x-->x0
Ora Scriviamo la seguente identita':
f(x)=((f(x)-f(x0)/(x-x0))*(x-x0)+f(x0)
(controlla se e' una identita')
In questa identita' passiamo al limite per x-->x0:
(ometto x-->x0)
limf(x)=lim((f(x)-f(x0))/(x-x0))*lim(x-x0) +lim(f(x0))
Cioe'(tenendo presente che ,per ipotesi,la derivata in x0 esiste):
limf(x)=f'(x0)*0+f(x0)
ovvero:
limf(x)=f(x0) e cio' prova,per quanto premesso,la continuita di f(x) in x0.

karl.
P.S.
Come definizione di derivata in x0 ho usato la
formula f'(x0)=lim((f(x)-f(x0)/(x-x0)) (sempre per x-->x0)
anziche' la piu' usuale formula con la h.




Modificato da - karl il 21/01/2004 15:58:31

[artas1]

ho capito, grazie mille