Continuità

[VALE014]

Buongiorno a tutti non capisco una cosa sulla continuità e sull 'uniformemente continuità.
Nel primo caso devo fare i limiti nel punto critico della funzione e nel caso specificare la discontinuità, nel secondo caso devo fare i limiti nell' intervallo dato??
Perché il mio libro non fa esempi e neanche a lezione abbiano visto esercizi ma all'esame di norma c'è.
Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Eh?

[21zuclo]

Definizione: Siano X un sottoinsieme non vuoto di $RR$, $ f: X \to RR $. Si dice che f è una funzione uniformemente continua se soddisfa la condizione seguente
$ \forall \epsilon >0 EE \delta>0 t.c. \forall x,y \in X: |x-y|<\delta rArr |f(x)-f(y)|<\epsilon $


in pratica stiamo dicendo che se i punti di $X$ distano meno di $\delta$ ($|x-y|<\delta$) allora le loro immagini disteranno meno di $epsilon$ . Il valore di $\delta$ dipende esclusivamente dalla scelta di fatta su $epsilon$ e da nessun altro parametro.

ora prendiamo la funzione $f(x)=x^3$ e dimostriamo che è uniform. continua su $A=[0,1]$

partiamo dal valore assoluto dalla differenza delle immagini
$ |f(x)-f(y)|=|x^3-y^3|=|(x-y)(x^2+xy+y^2)|=|x-y||x^2+xy+y^2| $

si ha che $ x\in[0,1] $ allora $x^2+xy+y^2\geq 0$ (è una somma di quantità NON negative, quindi possiamo togliere il valore assoluto)

poi $ x^2\in [0,1], xy\in [0,1], y^2\in [0,1] $

quindi possiamo dire che $ x^2+xy+y^2\leq 3, \forall x\in [0,1] $

$|x-y|(x^2+xy+y^2)\leq 3|x-y|$

ora consideriamo $ epsilon >0 $

$|x-y|
in conclusione scegliamo $epsilon>0$ esiste $\delta=\epsilon/3$ tale che $\forall x,y\in [0,1]$
per cui risulta $|x-y|<\delta$ ne segue che $|f(x)-f(y)|

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