Continuità
Buongiorno ragazzi sto avendo difficoltà a capire due esempi che ha fatto il prof a lezione riguardo l verifica della continuità di alcune funzioni, ve ne scrivo solo uno (da finire) e l'altro provo a capirlo da solo... Molti passaggi non non sono spiegati e non capisco perché ha fatto determinate cose quindi per favore, se potete spiegarmi tutto dall'inizio dell'esercizio mi sarebbe molto utile, una volta capita la logica che c'è dietro l'esercizio penso sia tutto molto più semplice.
Per definizione una funzione $f$ con dominio $D\subset\mathbb{R}$ è continua in un punto $x_0$ se
oppure, equivalentemente, se
E fin qui tutto ok. In particolare il prof ha usato quest'ultima condizione.
ESERCIZIO
Si consideri la funzione $f(x)=x^\alpha$ si mostri che è continua $\forallx\in(0,+\infty),\alpha\in\mathbb{R}$
SVOLGIMENTO
Innazitutto abbiamo
Adesso fa questo (non ho capito il motivo del valore assoluto, forse devo mettere un $<\varepsilon$ alla fine?
Ora impongo $h/x=t$ quindi il mite diventa
Dato che $t\to0$ posso supporre $t>(-1)$ e quindi
Ciò si conserva se $1+t>1 \Leftrightarrow t>0$. Se invece $t<0$ si ha
Ora scrive questo (penso perche così valga per ogni $t$)
Voglio far vedere che$|(1+t)^\alpha-1|\to0$ osservo che (perché?)
E a questo punto a detto di finirla a casa... ma prima di tutto dovrei capire il perché di tutti questi passaggi... non so dove mettere mano
Per definizione una funzione $f$ con dominio $D\subset\mathbb{R}$ è continua in un punto $x_0$ se
$\forall\varepsilon>0 \exists\delta:\forallx\in\mathbb{R}$ con $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
oppure, equivalentemente, se
$\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ oppure ancora se $\lim_{h \to 0}f(x_0+h)-f(x_0)=0$
E fin qui tutto ok. In particolare il prof ha usato quest'ultima condizione.
ESERCIZIO
Si consideri la funzione $f(x)=x^\alpha$ si mostri che è continua $\forallx\in(0,+\infty),\alpha\in\mathbb{R}$
SVOLGIMENTO
Innazitutto abbiamo
$\lim_{h \to 0}(x+h)^\alpha-(x)^\alpha=0$
Adesso fa questo (non ho capito il motivo del valore assoluto, forse devo mettere un $<\varepsilon$ alla fine?
$|(x+h)^\alpha-(x)^\alpha|=|x^\alpha||(1+h/x)^\alpha-1|$
Ora impongo $h/x=t$ quindi il mite diventa
$\lim_{t \to 0}(1+t)^\alpha-1=0$
Dato che $t\to0$ posso supporre $t>(-1)$ e quindi
$(1+t)^([\alpha])<=(1+t)^\alpha<(1+t)^([\alpha]+1)$ ove $[\alpha]=-1+min{z\in\mathbb{Z}:z>\alpha}$
Ciò si conserva se $1+t>1 \Leftrightarrow t>0$. Se invece $t<0$ si ha
$(1+t)^([\alpha])>=(1+t)^\alpha>(1+t)^([\alpha]+1)$
Ora scrive questo (penso perche così valga per ogni $t$)
$(1-|t|)^([\alpha]+1)<(1+t)^\alpha<(1+|t|)^([\alpha]+1)$
Voglio far vedere che$|(1+t)^\alpha-1|\to0$ osservo che (perché?)
$|(1+t)^\alpha-1|<|t|2^([\alpha]+1)$
E a questo punto a detto di finirla a casa... ma prima di tutto dovrei capire il perché di tutti questi passaggi... non so dove mettere mano
Risposte
Innanzitutto notiamo che, data \(f(x)=x^\alpha\), se \(\alpha\in\mathbb{R}\), deve essere necessariamente \(x\in I=(0,+\infty)\). Inoltre osserviamo che \(\lim_{s\to s_0}g(s)=0\iff\lim_{s\to s_0}|g(s)|=0\). Perciò dire \(\lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=0\) è equivalente a \(\lim_{h\to0}|f(x_0+h)-f(x_0)|=0\) (infatti basta prendere \(g(h)=f(x_0+h)-f(x_0)\)).[nota]Insomma, a livello di risultato è del tutto equivalente considerare il valore assoluto o meno. Certo è, però, che il valore assoluto ti dà qualche sicurezza in più sui segni, ti concede di maggiorare o minorare certe quantità con più facilità e parimenti semplifica talune soluzioni dei limiti (ad esempio permette di considerare "un carabiniere su due").[/nota] A noi non interessa la continuità puntuale, ma su tutto il semiasse positivo delle ascisse e dunque ragioniamo per tutte le \(x\in I\). Nel nostro caso ci si riduce a:\[\lim_{h\to0}|(x+h)^\alpha-x^\alpha|=\lim_{h\to0}|x^\alpha|\left|\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1\right|\]Ci piacerebbe che tale quantità fosse nulla, qualità che non possiede \(x^\alpha\) per alcun valore di \(\alpha\); ci è dunque sufficiente considerare la seconda quantità in valore assoluto che, con il cambio di variabile \(t=\frac{h}{x}\), porta la condizione iniziale a:\[\lim_{t\to0}|(1+t)^\alpha-1|=0\iff\lim_{t\to0}(1+t)^\alpha-1=0\]Come abbiamo visto all'inizio per \(x\), è indispensabile che \(1+t>0\implies t>-1\). Trovandoci in un intorno di \(0\), tale condizione è certamente verificata. Ora cerchiamo delle maggiorazioni e minorazioni per \((1+t)^\alpha\). Il problema maggiore sta nell'esponente. Lo semplifichiamo a questa maniera:\[[\alpha]\leqslant\alpha<[\alpha]+1,\quad[\alpha]=\min{\{z\in\mathbb{Z}:z>\alpha\}}-1\]Cosa significa? Abbiamo banalmente costretto \(\alpha\) tra due interi consecutivi. (La disuguaglianza debole dipende dal fatto che \(\alpha\) potrebbe essere un intero.) Ma allora resta evidente che, se \(1+t>1\iff t>0\), si ha:\[(1+t)^{[\alpha]}\leqslant(1+t)^\alpha<(1+t)^{[\alpha]+1}\]mentre se \(1+t<1\iff t<0\) i versi delle disuguaglianze vanno invertiti:\[(1+t)^{[\alpha]+1}<(1+t)^\alpha\leqslant(1+t)^{[\alpha]}\]Dato che \(t<0\), essa può essere riscritta come:\[(1-u)^{[\alpha]+1}<(1-u)^\alpha\leqslant(1-u)^{[\alpha]}\]ove \(u>0\); in particolare scegliamo \(u=|t|\), da cui e dalle precedenti:\[(1-|t|)^{[\alpha]+1}<(1-|t|)^\alpha\leqslant(1+t)^\alpha\leqslant(1+|t|)^\alpha<(1+|t|)^{[\alpha]+1}\]di cui ci interessa:\[(1-|t|)^{[\alpha]+1}<(1+t)^\alpha<(1+|t|)^{[\alpha]+1}\]E si conclude.
Grazie mille per la risposta molto dettagliata, però ci sono ancora alcune cose non chiarissime
Perché devo studiare $1+t>1$?
Poi un'altra cosa:
Perchè? Cioè se prendo $[\alpha]+1=-1$ (che penso sia possibile, basta che $\alpha\in(-2,-1)\subset\mathbb[R]$) e $t=1/2$ ottengo
Poi un'altra cosa ancora
Davvero? cioè non mi pare che $a^c-b^c=(a-b)^c$
Ma oltre tutto ciò perché in questo modo abbiamo verificato che è continua? Non riesco a "vedere" questo risultato in questo processo
"seb":
Ma allora resta evidente che, se \(1+t>1\iff t>0\), si ha:\[(1+t)^{[\alpha]}\leqslant(1+t)^\alpha<(1+t)^{[\alpha]+1}\]
Perché devo studiare $1+t>1$?
Poi un'altra cosa:
"seb":
\( (1-|t|)^{[\alpha]+1}<1 \)
Perchè? Cioè se prendo $[\alpha]+1=-1$ (che penso sia possibile, basta che $\alpha\in(-2,-1)\subset\mathbb[R]$) e $t=1/2$ ottengo
\( (1-|1/2|)^{-1}=2>1 \)
Poi un'altra cosa ancora
"seb":
$(1+|t|)^{[\alpha]+1}-(1-|t|)^{[\alpha]+1}=(2|t|)^{[\alpha]+1} $
Davvero? cioè non mi pare che $a^c-b^c=(a-b)^c$
Ma oltre tutto ciò perché in questo modo abbiamo verificato che è continua? Non riesco a "vedere" questo risultato in questo processo
Ahahah, sì! A "e si potrebbe già chiudere qui" avevo concluso il mio ragionamento, poi ho aggiunto il resto lì per lì, ma in realtà ero solamente impazzito 
Se \(1+t>1\), la quantità \((1+t)^\alpha\) cresce per gli \(\alpha\) positivi e decresce per quelli negativi, viceversa se \(1+t<1\); perciò distingui due casi.
Se dimostriamo che \(\lim_{t\to0}(1+t)^\alpha=1\), abbiamo dimostrato pure che \(\lim_{h\to0}|(x+h)^\alpha-x^\alpha|=0\) e dunque, per definizione di continuità, che \(f\) è continua.
(Spero comunque che, lasciando stare le ultime righe di palese insanità temporanea, il resto sia chiaro)
"Freebulls":Perché devo studiare $1+t>1$?[/quote]
[quote="seb"]Ma allora resta evidente che, se \(1+t>1\iff t>0\), si ha:\[(1+t)^{[\alpha]}\leqslant(1+t)^\alpha<(1+t)^{[\alpha]+1}\]
Se \(1+t>1\), la quantità \((1+t)^\alpha\) cresce per gli \(\alpha\) positivi e decresce per quelli negativi, viceversa se \(1+t<1\); perciò distingui due casi.
"Freebulls":
Ma oltre tutto ciò perché in questo modo abbiamo verificato che è continua? Non riesco a "vedere" questo risultato in questo processo
Se dimostriamo che \(\lim_{t\to0}(1+t)^\alpha=1\), abbiamo dimostrato pure che \(\lim_{h\to0}|(x+h)^\alpha-x^\alpha|=0\) e dunque, per definizione di continuità, che \(f\) è continua.
(Spero comunque che, lasciando stare le ultime righe di palese insanità temporanea, il resto sia chiaro)
Ok ci sono ora però siamo giunti qui:
\[ (1-|t|)^{[\alpha]+1}<(1+t)^\alpha<(1+|t|)^{[\alpha]+1} \]
Perché ne deduciamo che \( \lim_{t\to0}(1+t)^\alpha=1 \) ?
e poi comunque mi resta da capire perché è vero $ |(1+t)^\alpha-1|<|t|2^([\alpha]+1) $ cioè io l'ho scritto nei miei appunti ma non capisco il perché e a cosa mi serva questa cosa... mio dio sto impazzendo ahahahah
\[ (1-|t|)^{[\alpha]+1}<(1+t)^\alpha<(1+|t|)^{[\alpha]+1} \]
Perché ne deduciamo che \( \lim_{t\to0}(1+t)^\alpha=1 \) ?
e poi comunque mi resta da capire perché è vero $ |(1+t)^\alpha-1|<|t|2^([\alpha]+1) $ cioè io l'ho scritto nei miei appunti ma non capisco il perché e a cosa mi serva questa cosa... mio dio sto impazzendo ahahahah
AH forse potrei concludere che tende ad $1$ per il teorema dei carabinieri...
Oppure se riesco capire che $|(1+t)α−1|<|t|^(2[α]+1) $ potrei dire che
quindi preso $\delta=\varepsilon/(2^([α]+1))$ il limite è verificato perché ho trovato un intorno di $t$ in cui $|f(
t)-f(t_0)|<\varepsilon$ , giusto?
Oppure se riesco capire che $|(1+t)α−1|<|t|^(2[α]+1) $ potrei dire che
$|(1+t)α−1|<|t|2^([α]+1)<\varepsilon \Rightarrow |t|<\varepsilon/(2^([α]+1))$
quindi preso $\delta=\varepsilon/(2^([α]+1))$ il limite è verificato perché ho trovato un intorno di $t$ in cui $|f(
t)-f(t_0)|<\varepsilon$ , giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo