Continuazione analitica zeta di Riemann

[Spremiagrumi1]

Stavo seguendo dei passaggi per trovare l'equazione funzionale della $zeta$ di Riemann, ma mi sono bloccato su alcuni passaggi.
L'idea è quella di definirla usando la funzione $Gamma$ di Eulero che è analitica su tutto $C$ tranne gli interi negativi.
Scrivo ($s=sigma+ieta)$

$Gamma(s/2)=int_o^prope^(-t)t^(s/2-1)dt$ con $(sigma>0)$

Posto $t=n^2pix$

$pi^(-s/2)Gamma(s/2)n^(-s)=int_0^propx^(s/2-1)e^(-n^2pix)dx$

Per $(sigma>1)$


$pi^(-s/2)Gamma(s/2)n^(-s)=int_0^propx^(s/2-1)(Sigma_(n=1)^prope^(-n^2pix))dx=int_0^propx^(s/2-1)((theta(x))/2-1/2)dx$

dove $theta(x)=Sigma_(n=-prop)^prope^(-n^2pix)$ è la funzione Theta di Jacobi

Dopodiché mi dice (e questo lo prendo per buono) che la sua equazione funzionale è

$x^(1/2)theta(x)=theta(x^(-1))$

Quindi arriva a questa espressione che non capisco come ottiene:

$zeta(s)=pi^(s/2)/(Gamma(s/2))[1/(s(s-1))+int_1^prop(x^(s/2-1)+x^(-s/2-1/2))*((theta(x))/2-1/2)dx]$

Ho pensato che avesse integrato la parte da $0$ ad $1$ e lasciato il resto sotto il segno di integrale, tuttavia vedo l'argomento dell'integrale è differente. Immagino altrimenti che abbia usato l'equazione funzionale della $theta$ (avendola scritta), ma non capisco in che modo.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie

[Zero87]

Non si tratta di pubblicità personale, è che due anni fa avrei saputo risponderti meglio, mi limito a segnalarti questo
https://www.matematicamente.it/tesi-univ ... -di-laurea
che ho visto mi hanno anche votato con voti non granché, quindi non fidarti troppo.
Personalmente so che ci sono una decina di errori di battitura che mi hanno segnalato in tempi diversi.

[Spremiagrumi1]

Grazie, quello che mi interessa alla fine è dimostrare l'equazione funzionale e ho visto che c'è nella tua tesi. Però usi un approccio diverso senza funzione di Jacobi mi pare, quindi comincerò daccapo altrimenti rischio di perdermi. Se non capisco qualche passaggio scriverò qui.

Rimango comunque curioso di sapere come si giunge all'equazione che ho scritto. So per certo che si debba utilizzare questa equazione funzionale
$ x^(1/2)theta(x)=theta(x^(-1)) $