Consiglio su come studiare la seguente serie
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$
non so se è possibile scompattare la serie in due visto che una è a termini laterni, l'altra è a termini positivi e quindi la posso scomporre utilizzando il polinomio di Taylor...grazie anticipate
non so se è possibile scompattare la serie in due visto che una è a termini laterni, l'altra è a termini positivi e quindi la posso scomporre utilizzando il polinomio di Taylor...grazie anticipate
Risposte
Non ti conviene "scompattare" (?), per il semplice fatto che viene molto semplice studiare la convergenza (assoluta) sfruttando l'espansione di Taylor e i criteri di confronto.
Prova un po' e vedi cosa riesci a trarne.
Prova un po' e vedi cosa riesci a trarne.
Poiche io sto studiando analisi I ma non ci sono scritte le proprietà delle serie...Posso fare degli esempi qui così da sapere se alcuni passaggi sono leciti oppure no?
esempio
partendo da qui $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Così poi posso studiare di una la convergenza di un'altra l'assoluta convergenza come dicevi tu...E poichè c'è il teorema che mi assicura che il prodotto tra due serie convergenti è convergente, io sarei apposto..(sempre che mi risultino convergenti altrimenti sarei di nuovo punto e a capo)....
poi da qui (un altro esempio)
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)+[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)+\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Non so se è possibile farlo poichè sul mio libro non c'è scritto nulla al riguardo...
Lo so che mi avevate già risposto ma è per sicurezza, inoltre volevo chiedere se possibilmente su intenret, da qualche parte si potevano trovare queste proprietà delle operazioni tra serie...Grazie
esempio
partendo da qui $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Così poi posso studiare di una la convergenza di un'altra l'assoluta convergenza come dicevi tu...E poichè c'è il teorema che mi assicura che il prodotto tra due serie convergenti è convergente, io sarei apposto..(sempre che mi risultino convergenti altrimenti sarei di nuovo punto e a capo)....
poi da qui (un altro esempio)
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)+[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)+\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Non so se è possibile farlo poichè sul mio libro non c'è scritto nulla al riguardo...
Lo so che mi avevate già risposto ma è per sicurezza, inoltre volevo chiedere se possibilmente su intenret, da qualche parte si potevano trovare queste proprietà delle operazioni tra serie...Grazie
"rayster":
Poiche io sto studiando analisi I ma non ci sono scritte le proprietà delle serie...Posso fare degli esempi qui così da sapere se alcuni passaggi sono leciti oppure no?
esempio
partendo da qui $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)*\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Così poi posso studiare di una la convergenza di un'altra l'assoluta convergenza come dicevi tu...E poichè c'è il teorema che mi assicura che il prodotto tra due serie convergenti è convergente, io sarei apposto..(sempre che mi risultino convergenti altrimenti sarei di nuovo punto e a capo)...
Questo sarebbe anche vero, ma dovresti ragionare in altra maniera.
Ad esempio se hai [tex]$\sum a_nb_n$[/tex], con [tex]$(a_n)$[/tex] limitata e [tex]$\sum b_n$[/tex] assolutamente convergente, allora [tex]$\sum a_n b_n$[/tex] è assolutamente convergente e risulta:
[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n b_n \leq \sum_{n=1}^{+\infty} |a_n||b_n| \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} |b_n|$[/tex]
(questa si potrebbe chiamare disuguaglianza di Hölder facile).
In particolare, le ipotesi precedenti sono soddisfatte se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge semplicemente (perchè?); quindi come corollario alla disuguaglianza di Hölder facile hai:
[tex]$\text{$\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ converge assolutamente} \implies $[/tex]
[tex]$ \implies \text{$\sum a_nb_n$ converge assolutamente e $\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n||b_n| \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} |b_n|$}$[/tex].
Tuttavia non vedo come applicare questo risultato al tuo caso, dato che [tex]$a_n:=n-\sin n$[/tex] non è limitata.
Quindi ti serve un'altra idea per risolvere l'esercizio.
Ad esempio, che ne dici di cominciare a studiare se è verificata la condizione necessaria alla convergenza per [tex]$\sum (n-\sin n) \left( \frac{1}{n} -\sin \frac{1}{n} \right)$[/tex]?
Io, senza saper né leggere né scrivere, cercherei di applicare la formula di Taylor al terzo ordine [tex]$\sin x=x-\frac{1}{6} x^3+\text{o}(x^3)$[/tex] valida per [tex]$x\to 0$[/tex] per stabilire se la successione degli addendi [tex]$(n-\sin n) \left( \frac{1}{n} -\sin \frac{1}{n} \right)$[/tex] è infinitesima e di che ordine...
"rayster":
poi da qui (un altro esempio)
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)+[1/n - sin (1/n)]$ è possibile fare $\sum_{k=1}^N (n - sin n)+\sum{k=1}^N[1/n - sin(1/n)]$ ?? Non so se è possibile farlo poichè sul mio libro non c'è scritto nulla al riguardo...
Formalmente si può sempre spezzare una serie [tex]$\sum a_n+b_n$[/tex] in [tex]$\sum a_n +\sum b_n$[/tex]; tuttavia non è sempre possibile calcolare la somma di [tex]$\sum a_n+b_n$[/tex] dopo aver fatto questa operazione, giacché nello scrivere [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n +\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$[/tex] si potrebbe incorrere in forme indeterminate.
Ad esempio, prendi [tex]$a_n:=n,\ b_n:= -n$[/tex]: in tal caso hai [tex]$a_n+b_n=0$[/tex], quindi la serie [tex]$\sum a_n+b_n$[/tex] è convergente ed ha somma nulla (infatti [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} 0=0$[/tex]); d'altra parte [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=\sum_{n=1}^{+\infty} n=+\infty$[/tex] e [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} b_n=\sum_{n=1}^{+\infty} -n=-\infty$[/tex], sicché la somma [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n+ \sum_{n=1}^{+\infty} b_n$[/tex] si presenta in forma indeterminata [tex]$\infty-\infty$[/tex].
"rayster":
Lo so che mi avevate già risposto ma è per sicurezza, inoltre volevo chiedere se possibilmente su internet, da qualche parte si potevano trovare queste proprietà delle operazioni tra serie...Grazie
Prova a sfogliare bene il libro: queste cose devono esserci.
Ti ringrazio, ma forse ero io che stavo correndo un po' troppo perchè in effetti non si è mai parlato di somme tra serie o prodotto tra serie (francamente credo sia analisi due) per cui queste proprietà non ci sono...
Io credo di averla risolta ho fatto in questo modo ma non credo che i passaggi siano totalmente ortodossi, per questo li propongo:
partendo dalla traccia:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$
applico la forumla di mclaurin nel secondo fattore del prodotto , per cui si può avere l'infinitesimo, perchè nel primo fattore non si può applicare in quanto tende ad infinito...
per cui ho:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - 1/n + 1/6*1/n^2]$
faccio le semplificazioni e moltiplico i due fattori dentro la serie, per cui ottengo:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)/6*1/n^3$
a questo punto considero il fatto che la serie è a termini alterni,per cui (correggetemi se sbaglio per favore anche dal punto di vista teorico) non posso applicare alcun teorema , neppure quello di Leibniz.
Ragion per cui studio l'assoluta convergenza e a questo punto, poichè al numeratore n- sen di n può essere al + uguale di n+1 ultilizzo il criterio del confornto con la seguente serie:
$\sum_{k=1}^N (n +1)/6*1/n^3$
adesso scompongo questa serie in due serie $\sum_{k=1}^N 1/6*1/n^2 + sum_{k=1}^N 1/6*1/n^3$ , e adesso poichè entrambe le serie convergono in quanto sono delle serie armoniche con esponente >1, allora avremo la somma di due numeri dovuti alla convergenza di queste serie, per cui anche la serie precedente, dovrà convergere...
Io credo di averla risolta ho fatto in questo modo ma non credo che i passaggi siano totalmente ortodossi, per questo li propongo:
partendo dalla traccia:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$
applico la forumla di mclaurin nel secondo fattore del prodotto , per cui si può avere l'infinitesimo, perchè nel primo fattore non si può applicare in quanto tende ad infinito...
per cui ho:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - 1/n + 1/6*1/n^2]$
faccio le semplificazioni e moltiplico i due fattori dentro la serie, per cui ottengo:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)/6*1/n^3$
a questo punto considero il fatto che la serie è a termini alterni,per cui (correggetemi se sbaglio per favore anche dal punto di vista teorico) non posso applicare alcun teorema , neppure quello di Leibniz.
Ragion per cui studio l'assoluta convergenza e a questo punto, poichè al numeratore n- sen di n può essere al + uguale di n+1 ultilizzo il criterio del confornto con la seguente serie:
$\sum_{k=1}^N (n +1)/6*1/n^3$
adesso scompongo questa serie in due serie $\sum_{k=1}^N 1/6*1/n^2 + sum_{k=1}^N 1/6*1/n^3$ , e adesso poichè entrambe le serie convergono in quanto sono delle serie armoniche con esponente >1, allora avremo la somma di due numeri dovuti alla convergenza di queste serie, per cui anche la serie precedente, dovrà convergere...
"rayster":
Ti ringrazio, ma forse ero io che stavo correndo un po' troppo perchè in effetti non si è mai parlato di somme tra serie o prodotto tra serie (francamente credo sia analisi due) per cui queste proprietà non ci sono...
Mah... Potrebbe anche essere, visto che i programmi, ormai, non sono uguali dappertutto.
Per un riferimento abbastanza sicuro potresti adoperare il Giusti, Analisi Matematica 1 (quello "vecchio", nella ristampa del 1996).
Ad ogni modo, della scomposizione in somma si potrebbe fare anche a meno in quello che segue.
"rayster":
Io credo di averla risolta ho fatto in questo modo ma non credo che i passaggi siano totalmente ortodossi, per questo li propongo:
partendo dalla traccia:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - sin (1/n)]$
applico la formula di mclaurin nel secondo fattore del prodotto , per cui si può avere l'infinitesimo, perchè nel primo fattore non si può applicare in quanto tende ad infinito...
L'idea è giusta.
Ora tutto sta a portarla avanti correttamente.
Scusa la pedanteria, ma cosa "tende a infinito" nel primo fattore?
E poi, l'indice di sommatoria non dovrebbe essere [tex]$n$[/tex]? E l'estremo superiore non dovrebbe essere [tex]$+\infty$[/tex]?
"rayster":
per cui ho:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)*[1/n - 1/n + 1/6*1/n^3]$
Hai dimenticato [tex]$\text{o}(\frac{1}{n^3})$[/tex], che è il resto nella formula di Taylor/MacLaurin nella forma di Peano; dovresti scrivere [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} (n - \sin n) \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n}+ \frac{1}{6}\frac{1}{n^3} +\text{o}(\frac{1}{n^3}) \right]$[/tex].
"rayster":
faccio le semplificazioni e moltiplico i due fattori dentro la serie, per cui ottengo:
$\sum_{k=1}^N (n - sin n)/6*1/n^3$
Se vuoi trascurare quel $\text{o}(\frac{1}{n^3})$ dovresti dirlo (ora che sai che c'è). Ciò si può fare, ma bisogna motivarlo un po'.
"rayster":
a questo punto considero il fatto che la serie è a termini alterni,per cui (correggetemi se sbaglio per favore anche dal punto di vista teorico) non posso applicare alcun teorema , neppure quello di Leibniz.
La serie non è a segni alterni*; anzi è definitivamente positiva (perchè?).
"rayster":
Ragion per cui studio l'assoluta convergenza e a questo punto, poichè al numeratore n- sen di n può essere al + uguale di n+1 ultilizzo il criterio del confornto con la seguente serie:
$\sum_{k=1}^N (n +1)/6*1/n^3$
adesso scompongo questa serie in due serie $\sum_{k=1}^N 1/6*1/n^2 + sum_{k=1}^N 1/6*1/n^3$ , e adesso poichè entrambe le serie convergono in quanto sono delle serie armoniche con esponente >1, allora avremo la somma di due numeri dovuti alla convergenza di queste serie, per cui anche la serie precedente, dovrà convergere...
Ok; qui hai semplicemente trovato una maggiorante convergente per la serie dei moduli.
Tuttavia c'è sempre il problema che hai dimenticato per la strada quel [tex]$\text{o}(\frac{1}{n^3})$[/tex]... Prova a vedere come e perchè si può trascurare quell'infinitesimo ed hai finito.
Ad ogni modo, complimenti. Hai fatto quasi tutto giusto!
E chi ben comincia è già a metà dell'opera.
__________
* Ricorda che una serie si dice a segni alterni quando è del tipo [tex]$\sum (-1)^n a_n$[/tex] e risulta [tex]$a_n\leq 0$[/tex] oppure [tex]$a_n\geq 0$[/tex] per ogni $n$.
per quanto riguarda la scrittura della serie è vero n va da 1 a infinito è che non sapevo scriverlo...
, per questo dicevo che la forumla di Taylor era possibile applicarla solo nel caso di sen 1/n perchè il limite dev'essere 0, essendo 1/n con n--->all'infinito uguale a 0, lo posso applicare , nel caso di sen n invece no ...(almeno perchè nn c'è il termine infinitesimo)...
per il fatto delle serie a termini alterni ho sbagliato , nel senso che intendevo il fatto che trattandosi del seno poteva assumere valori positivi o negativi quindi non potevo utilizzare criteri per le serie a termini positivi, inoltre per il fatto del polinomio di Mc Laurin è vero ho dimenticato l'o(x) anche se di solito questi o piccoli poi non hanno molto valore intendo per il fatto che appena si opera il limite si sostituisce 0...
ti ringrazio per tutto soprattutto per la correzione finale anche perchè il fatto che due serie fossero convergenti , e cher quindi ci fosse un maggiornate per ognuna, mi faceva arrivare logicamente alla conclusione che la somma dei due maggiornati doveva essere anche un maggiornate per la serie iniziale e quindi spero che il rpocedimento sia giusto...
Anche se mi resta ancora un dubbio , perchè dicevi che la funzione sen n con n tendente all'infinito è definitivamente positiva?
Grazie ancora!
, per questo dicevo che la forumla di Taylor era possibile applicarla solo nel caso di sen 1/n perchè il limite dev'essere 0, essendo 1/n con n--->all'infinito uguale a 0, lo posso applicare , nel caso di sen n invece no ...(almeno perchè nn c'è il termine infinitesimo)...per il fatto delle serie a termini alterni ho sbagliato , nel senso che intendevo il fatto che trattandosi del seno poteva assumere valori positivi o negativi quindi non potevo utilizzare criteri per le serie a termini positivi, inoltre per il fatto del polinomio di Mc Laurin è vero ho dimenticato l'o(x)
anche se di solito questi o piccoli poi non hanno molto valore intendo per il fatto che appena si opera il limite si sostituisce 0... ti ringrazio per tutto soprattutto per la correzione finale anche perchè il fatto che due serie fossero convergenti , e cher quindi ci fosse un maggiornate per ognuna, mi faceva arrivare logicamente alla conclusione che la somma dei due maggiornati doveva essere anche un maggiornate per la serie iniziale e quindi spero che il rpocedimento sia giusto...
Anche se mi resta ancora un dubbio , perchè dicevi che la funzione sen n con n tendente all'infinito è definitivamente positiva?
Grazie ancora!
Non so se ti interessa o meno, ma ti scrivo come me la sarei sbrigata io; ma metto la cosa in spoiler.
ti ringrazio per aver postato la tua risoluzione , sicuramente è importante ricevere pareri da un esperto...
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