Consiglio studio di una serie
Salve
ho la seguente serie da risolvere ma non capisco come risolverla, ho provato con il criterio del rapporto ma non concludo niente, almeno io, per cui vi volevo chiedere qualche suggerimento osservazione o altro che possa aiutarmi grazie
la serie è : $\sum_{n=1}^oo (n-3)^n/(n^(n+1))$
con il criterio del rapporto ottengo:
$\lim_{n \to \infty}(n-2)^(n+1)/((n+1)^(n+2)).n^(n+1)/((n-3)^n)$
ho provato a dividere i prodotti cercare semplificazioni o ricondurre a qualche forma notevole ma non arrivo a niente.
nemmeno con il criterio della radice riesco a ricavarci qualcosa io
non so come mi sono accorto solo ora e ho provato a far questo ma non so se in effetti sia giusto:
$root(n)((n-3)^n/n^(n+1))$ divido denominatore in $n^n.n$ e quindi poi la scrivo cosi
$root(n)(((n-3)/n)^n.1/n)$ a questo punto credo sia lecito poter portare fuori $(n-3)/n$ e avere $(n-3)/n.root(n)(1/n)$
che alla fine farebbe $0<1$ e quindi la serie potrebbe convergere ma aspetto un vostro commento per sicurezza
ho la seguente serie da risolvere ma non capisco come risolverla, ho provato con il criterio del rapporto ma non concludo niente, almeno io, per cui vi volevo chiedere qualche suggerimento osservazione o altro che possa aiutarmi grazie
la serie è : $\sum_{n=1}^oo (n-3)^n/(n^(n+1))$
con il criterio del rapporto ottengo:
$\lim_{n \to \infty}(n-2)^(n+1)/((n+1)^(n+2)).n^(n+1)/((n-3)^n)$
ho provato a dividere i prodotti cercare semplificazioni o ricondurre a qualche forma notevole ma non arrivo a niente.
nemmeno con il criterio della radice riesco a ricavarci qualcosa io
non so come mi sono accorto solo ora e ho provato a far questo ma non so se in effetti sia giusto:
$root(n)((n-3)^n/n^(n+1))$ divido denominatore in $n^n.n$ e quindi poi la scrivo cosi
$root(n)(((n-3)/n)^n.1/n)$ a questo punto credo sia lecito poter portare fuori $(n-3)/n$ e avere $(n-3)/n.root(n)(1/n)$
che alla fine farebbe $0<1$ e quindi la serie potrebbe convergere ma aspetto un vostro commento per sicurezza
Risposte
cosi a occhio sembra fatta a posta per usare il criterio della radice. Hai provato?
avevo scritto il mio tentativo mentre hai risposto 
mi correggo infatti, è inconcludente.
La serie è $sum_n^oo (n-3)^n/(n^n*n)$
se $nto+oo$ allora $(n-3)^n/n^n$ è il rapporto tra infiniti dello stesso ordine, per dimostrarlo basta svolgere questo limite e verificare che risulti finito e diverso da 0: $lim_(ntooo)(n-3)^n/n^n$. Allora ciò che stabilisce il carattere della serie è il fattore $1/n$ che essendo infinitesimo di ordine 1 rende la serie divergente.
Quando al tuo ragionamento nel primo post, occhio che $lim_(ntooo)(n-3)/n.root(n)(1/n) = 1 $ e non 0.
La serie è $sum_n^oo (n-3)^n/(n^n*n)$
se $nto+oo$ allora $(n-3)^n/n^n$ è il rapporto tra infiniti dello stesso ordine, per dimostrarlo basta svolgere questo limite e verificare che risulti finito e diverso da 0: $lim_(ntooo)(n-3)^n/n^n$. Allora ciò che stabilisce il carattere della serie è il fattore $1/n$ che essendo infinitesimo di ordine 1 rende la serie divergente.
Quando al tuo ragionamento nel primo post, occhio che $lim_(ntooo)(n-3)/n.root(n)(1/n) = 1 $ e non 0.
fino al passo che $\lim_{n \to \infty}(n-3)^n/n^n=1$ ci sono, e infatti anche portando fuori o lasciandolo dentro fa 1 in effetti e non mi cambia niente in teoria.
il problema è che non capisco poi perchè diverge cioè, rimarrebbe la radice ennesima di $1/n$ io ho pensato che radice di un numero che tende a $0$ faccia $0$ non capisco invece quello che affermi tu
ok credo di aver capito quello che hai fatto, hai usato il criterio del confronto asintotico, ora usando quello alla fine arrivo a quello che mi hai detto tu e che la serie diverge, è corretto ?
il problema è che non capisco poi perchè diverge cioè, rimarrebbe la radice ennesima di $1/n$ io ho pensato che radice di un numero che tende a $0$ faccia $0$ non capisco invece quello che affermi tu
ok credo di aver capito quello che hai fatto, hai usato il criterio del confronto asintotico, ora usando quello alla fine arrivo a quello che mi hai detto tu e che la serie diverge, è corretto ?
si, è giusto. Un solo appunto: $lim_(ntooo) (n-3)^n/n^n = e^-3$ e non 1. Comunque al fine di stabilire il comportamento asintotico non cambia nulla.
"Covenant":
si, è giusto. Un solo appunto: $lim_(ntooo) (n-3)^n/n^n = e^-3$ e non 1. Comunque al fine di stabilire il comportamento asintotico non cambia nulla.
ma anche con la radice alla fine hai $\lim_{n \to \infty}1/n^(1/n)$ essendo $1/n < 1$ diverge...posso farlo giusto?
giusto non avevo notato.
ho capito svolgendo anche un altro esercizio simile e credo di aver capito e risolto i miei dubbi a riguardo per adesso
grazie mille per l'aiuto
@ luketek
non so ma non credo sia corretto perchè $root(n)(n)=1$ se non sbaglio quindi alla fine quello ti verrebbe 1
ho capito svolgendo anche un altro esercizio simile e credo di aver capito e risolto i miei dubbi a riguardo per adesso
grazie mille per l'aiuto
@ luketek
non so ma non credo sia corretto perchè $root(n)(n)=1$ se non sbaglio quindi alla fine quello ti verrebbe 1
"luketek":
ma anche con la radice alla fine hai $\lim_{n \to \infty}1/n^(1/n)$ essendo $1/n < 1$ diverge...posso farlo giusto?
$\lim_{n \to \infty}1/n^(1/n) = 1$, quindi il criterio della radice è inconcludente.
"malcon":
giusto non avevo notato.
beh si non cambia nulla se non sbaglio per il fatto che si puo trascurare $1/e^3$ rispetto a $1/n$ è corretto ?
scusa le tante domande ma mi servono a chiarirmi un po le idee
grazie mille
il punto è che a te il risultato di quel limite serve solo per valutare se gli ordini di infinito di $(n-3)^n$ e $n^n$ siano confrontabili oppure no per $nto+oo$. Dalla teoria degli infiniti e degli infinitesimi dovresti sapere che se quel limite risulta finito e non nullo, allora numeratore e denominatore hanno stesso ordine di infinito, cioè sono confrontabili. Ti interessa solo quello. Che poi il limite faccia $e^-3$ o $700000000$ non cambia nulla. La conclusione è sempre la stessa.
sisi ho appurato questo risolvendo qualche altro esercizio simile ti ringrazio ancora covenant avevo detto una cosa senza senso prima e me ne sono accorto da solo
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