Consiglio limite nel calcolo di una serie
Ciao ragazzi, svolgendo un po di esercizi mi sono ritrovato di fronte a questo limite
$lim_{n \to \infty} log(n+2)/(2^(n+1)+3^(n+1))(2^n+3^n)/log(n+1)$
e non so proprio come risolverlo, i problemi sono sostanzialmente due:
1) non so come comportarmi con $(2^n+3^n)/(2^(n+1)+3^(n+1))$ , cioè come semplificarlo senza fare errori;
2) non sono sicuro di poter applicare de l'hopital al rapporto tra logaritmi, e vi chiedo se per caso c'è un altro modo per non scomodare de l'hopital dato che in ambito di serie non è proprio corretto utilizzarlo (e il mio professore me l'ha esplicitamente detto);
Detto questo passo a voi la parola, grazie
$lim_{n \to \infty} log(n+2)/(2^(n+1)+3^(n+1))(2^n+3^n)/log(n+1)$
e non so proprio come risolverlo, i problemi sono sostanzialmente due:
1) non so come comportarmi con $(2^n+3^n)/(2^(n+1)+3^(n+1))$ , cioè come semplificarlo senza fare errori;
2) non sono sicuro di poter applicare de l'hopital al rapporto tra logaritmi, e vi chiedo se per caso c'è un altro modo per non scomodare de l'hopital dato che in ambito di serie non è proprio corretto utilizzarlo (e il mio professore me l'ha esplicitamente detto);
Detto questo passo a voi la parola, grazie
Risposte
Piuttosto che col criterio del rapporto(che comunque si può rendere meno "contoso" con le stime asintotiche..),
proverei a stabilire il carattere delle tua serie numerica per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $1/2$:
saluti dal web.
proverei a stabilire il carattere delle tua serie numerica per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $1/2$:
saluti dal web.
"theras":
Piuttosto che col criterio del rapporto(che comunque si può rendere meno "contoso" con le stime asintotiche..)
Quando si hanno somme di esponenziali, infatti, è utile raccogliere "la più grande"
$\frac{2^n+3^n}{2^(n+1)+3^(n+1)}= \frac{3^n ((2/3)^n+1)}{3 \cdot 3^n ((2/3)^(n+1)+1)} \to ...$.
Poi c'è da inserire in quel discorso anche i due logaritmi - che, però, non avranno vita lunga date le gerarchie degli infiniti - e utilizzare proprio le stesse gerarchie degli infiniti per vedere a cosa tende quel limite.
Con il raccoglimento suggerito da Zero, la parte con gli esponenziali tende a \(\frac 1 3\), quindi devi solamente preoccuparti di quella coi logaritmi, che è facile.
Il problema è che sono partito da una serie di potenze quindi posso usare solo criterio del rapporto o della radice, detto questo non ho capito dopo aver raccolto $3^n$ come procedere per la semplificazione degli altri $(2/3)^(n+1)$ e $(2/3)^n$
A cosa tendono quelli quando \(n\) diventa molto grande?
è chiaro che il denominatore prevale sul numeratore quindi vanno a zero, non so se basta però ad essere sicuro che vadano a zero.
Un'altra cosa che non ho capito è come dire che il rapporto dei logaritmi fa uno senza ricorrere a de l'hopital, basta che l'argomento sia di pari grado e i logaritmi sono di pari grado? e se gli argomenti hanno gradi diversi chi va prima a zero?
Un'altra cosa che non ho capito è come dire che il rapporto dei logaritmi fa uno senza ricorrere a de l'hopital, basta che l'argomento sia di pari grado e i logaritmi sono di pari grado? e se gli argomenti hanno gradi diversi chi va prima a zero?
Puoi usare il polinomio di Taylor? Altrimenti, ricorda il limite notevole \(\frac{\ln(1 + x)}{x}\)
${log(n+2)}/{log(n+1)}={log(n+1)+log(1+1/{n+1))}/{log(n+1)}=1+log(1+1/(n+1))/{log(n+1)}=$
=$1+log(1+1/{n+1))^{(n+1))/{(n+1)log(n+1)}$
Per $n->infty$ il limite L è : $L=1+log e/{infty}=1$
Più semplicemente si potrebbe forse osservare che, per $n-infty$, $log(n+1) $ e $log(n+2)$ diventano infiniti dello stesso ordine.
=$1+log(1+1/{n+1))^{(n+1))/{(n+1)log(n+1)}$
Per $n->infty$ il limite L è : $L=1+log e/{infty}=1$
Più semplicemente si potrebbe forse osservare che, per $n-infty$, $log(n+1) $ e $log(n+2)$ diventano infiniti dello stesso ordine.
ciromario: lavori all'ufficio complicazione affari semplici?
Ti basta osservare che $("log"(n+2))/("log"(n+1))=("log"(1+2/n)+"log"n)/("log"(1+1/n)+"log"n)=(("log"(1+2/n))/("log"n)+1)/(("log"(1+1/n))/("log"n)+1)$ $AA n in NN setminus {0,1}$:
procedimento che, opportunamente adeguato, dovrebbe bastarti a rispondere alle altre domande
..
Saluti al web.
P.S.Il procedimento di Ciromario è equivalente,e su esso, se le preferisci,
si basa la giustificazione di eventuali stime asintotiche:
e soprattutto è ottimo il consiglio che lo segue,cui mi permetto d'aggiungere,insitendo,quello del confronto asintotico con il termine generale di $sum_(n=2)^(+oo)(1/2)^n$..
procedimento che, opportunamente adeguato, dovrebbe bastarti a rispondere alle altre domande
..Saluti al web.
P.S.Il procedimento di Ciromario è equivalente,e su esso, se le preferisci,
si basa la giustificazione di eventuali stime asintotiche:
e soprattutto è ottimo il consiglio che lo segue,cui mi permetto d'aggiungere,insitendo,quello del confronto asintotico con il termine generale di $sum_(n=2)^(+oo)(1/2)^n$..
Edit:
Mi avete risposto mentre io rispondevo a voi , ma non mi faceva cancellare il messaggio nonostante non vi erano risposte dopo la mia.
Mi avete risposto mentre io rispondevo a voi , ma non mi faceva cancellare il messaggio nonostante non vi erano risposte dopo la mia.
@Raptorista
Effettivamente ci ho girato un po' intorno ...
Non mi dispiacerebbe vedere una dimostrazione più semplice. Tu ne hai qualcuna da proporre ?
P.S. Pare che anche theras lavori nello stesso ufficio. Eppure non ci siamo mai visti !
Effettivamente ci ho girato un po' intorno ...
Non mi dispiacerebbe vedere una dimostrazione più semplice. Tu ne hai qualcuna da proporre ?
P.S. Pare che anche theras lavori nello stesso ufficio. Eppure non ci siamo mai visti !
"zimbo94":
[quote="Raptorista"]Puoi usare il polinomio di Taylor? Altrimenti, ricorda il limite notevole \(\frac{\ln(1 + x)}{x}\)
Il problema è che quel limite funziona solo per $n \to \0$ e noi non abbiamo $1/n$ ma solo $n$ quindi non si puo applicare.[/quote]
Mica detto..magari basta riscrivere la tua successione argomento sotto una forma lecita ed opportuna ai tuoi fini
."ciromario":
..P.S. Pare che anche theras lavori nello stesso ufficio. Eppure non ci siamo mai visti !
Questione che non si può dirimere, direi, tra cugini di I° grado("fratili in primu", per dirla alla Faber):
parlare tra Fisici e Matematici di cosa preferire tra Taylor,limiti notevoli e stime asintotiche è come chiedersi se è nato prima l'uovo o la gallina
.. Saluti dal web.
Mea culpa, pensavo di aver visto un giochino come quello suggerito da theras, ma invece non c'è XD
Ad ogni modo, \(n + 2 \sim n + 1 \sim n\) quando \(n \to +\infty\) ed il logaritmo è una funziona continua, quindi \(\ln(n + 2) \sim \ln(n + 1) \sim \ln n\) e quella cosa tende naturalmente ad \(1\).
Ad ogni modo, \(n + 2 \sim n + 1 \sim n\) quando \(n \to +\infty\) ed il logaritmo è una funziona continua, quindi \(\ln(n + 2) \sim \ln(n + 1) \sim \ln n\) e quella cosa tende naturalmente ad \(1\).
Giusto per concludere la questione, mi pare di aver già suggerito che, per $n-> infty$, $log(n+1)$ e $log(n+2)$ diventano infiniti dello stesso ordine.
Ma certo, ed è giusto! Io non dicevo che hai sbagliato, solo che quello è già sufficiente da solo, senza il carico di passaggi 
Comunque, direi che la questione è perfettamente risolta
Comunque, direi che la questione è perfettamente risolta
C'era in ballo qualche questione tra cugini, ed io non me n'ero accorto 
?
Saluti dal web.
?Saluti dal web.
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