Consiglio integrali $ int_(0)^(pi/4)(sin^2x/cos^3x) $ e $ int_(pi/4)^(pi/2)(cos^2x/sin^3x) $
Salve a tutti, ho provato a risolvere questi integrali per parti, per sostituzione, scrivendo seno in funzione di coseno e viceversa, formule parametriche.. ma non riesco assolutamente a uscirne. Qualcuno può darmi un consiglio su come agire con questi integrali che sicuramente si risolveranno allo stesso modo?
Grazie
Grazie
Risposte
Ciao marcodal97,
Ti dico subito che non sono banali, ma si risolvono.
Qualche indicazione per il primo:
$int (sin^2 x/cos^3 x) dx = int (tan^2 x \cdot sec x) dx = int ((sec^2 x - 1) \cdot sec x) dx = int sec^3 x dx - \int sec x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int sec^n x dx = frac{sin x sec^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int sec^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $. Per il secondo integrale il metodo è analogo:
$int (cos^2 x/sin^3 x) dx = int (cot^2 x \cdot csc x) dx = int ((csc^2 x - 1) \cdot csc x) dx = int csc^3 x dx - \int csc x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int csc^n x dx = - frac{cos x csc^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int csc^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $.
Ti dico subito che non sono banali, ma si risolvono.
Qualche indicazione per il primo:
$int (sin^2 x/cos^3 x) dx = int (tan^2 x \cdot sec x) dx = int ((sec^2 x - 1) \cdot sec x) dx = int sec^3 x dx - \int sec x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int sec^n x dx = frac{sin x sec^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int sec^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $. Per il secondo integrale il metodo è analogo:
$int (cos^2 x/sin^3 x) dx = int (cot^2 x \cdot csc x) dx = int ((csc^2 x - 1) \cdot csc x) dx = int csc^3 x dx - \int csc x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int csc^n x dx = - frac{cos x csc^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int csc^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $.
"pilloeffe":
Ciao marcodal97,
Ti dico subito che non sono banali, ma si risolvono.
Qualche indicazione per il primo:
$int (sin^2 x/cos^3 x) dx = int (tan^2 x \cdot sec x) dx = int ((sec^2 x - 1) \cdot sec x) dx = int sec^3 x dx - \int sec x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int sec^n x dx = frac{sin x sec^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int sec^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $. Per il secondo integrale il metodo è analogo:
$int (cos^2 x/sin^3 x) dx = int (cot^2 x \cdot csc x) dx = int ((csc^2 x - 1) \cdot csc x) dx = int csc^3 x dx - \int csc x dx $
Poi si fa uso della relazione di ricorrenza
$ \int csc^n x dx = - frac{cos x csc^{n - 1} x}{n - 1} + frac{n - 2}{n - 1} \int csc^{n - 2} x dx $
con $n = 3 $.
Grazie mille dell'aiuto, ho preso questi esercizi da testi di esame della mia facoltà di circa 7 anni fa.
I procedimenti che mi hai consigliato tu non li ho mai visti, e a questo punto penso che questi esercizi siano un po troppo difficili rispetto a quelli recenti e che magari sono cambiati un po' i programmi di analisi nel corso di questi anni. Anche perché da quando sto facendo questi sto fermo su un esercizio 3 ore.
Potresti dirmi se ho svolto bene questo ad esempio?
$ int_(1)^(2)(1/x)sqrt(x/(x-1) $
Dovrebbe essere un integrale improprio perchè non c'è continuità nel punto x = 1.
$lim c->1^+ int_(c)^(2) (1/x)sqrt(x/(x-1) $
Agisco sulla funzione
$ int_(c)^(2) (sqrt(x))/x1/sqrt((x-1) ) = int_(c)^(2) 1/sqrt(x)*1/sqrt(x-1) = int_(c)^(2) 1/sqrt(x^2-x) =
int_(c)^(2) 1/sqrt((x-(1/2)^2)-(1/2)^2) = [log(x-(1/2)+sqrt(x^2-x))]$
A questo punto sostituisco i valori e faccio il limite. E' corretto?
ciao,
per l'integrale delle funzioni trigonometriche puoi usare anche le relazioni parametriche:
$t=tan(x/2)$ da cui $sin(x)=\frac{2}{1+t^2}$ e $cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ e differenziale: $dx=\frac{2}{1+t^2}$ .. prova a sostituire e dovresti arrivare allo stesso risultato..
Per quanto riguarda l'ultimo integrale puoi risolverlo cosi.. te lo risolvo in modo indefinito, passare poi all'improprio è facile..
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx=\int \sqrt{\frac{x}{x^2 (x-1)}} dx= \int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ se adesso per sostituzione fai $\sqrt{x}=t$ da cui $x=t^2$ e $dx=2tdt$ l'integrale diventa:
$\int \frac{2tdt}{t\sqrt{t^2 -1}} dt = 2 \int \frac{1}{\sqrt{t^2 -1}} dt $ che è un integrale noto $= 2 log|t+\sqrt{t^2-1}| + c$
per l'integrale delle funzioni trigonometriche puoi usare anche le relazioni parametriche:
$t=tan(x/2)$ da cui $sin(x)=\frac{2}{1+t^2}$ e $cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ e differenziale: $dx=\frac{2}{1+t^2}$ .. prova a sostituire e dovresti arrivare allo stesso risultato..
Per quanto riguarda l'ultimo integrale puoi risolverlo cosi.. te lo risolvo in modo indefinito, passare poi all'improprio è facile..
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx=\int \sqrt{\frac{x}{x^2 (x-1)}} dx= \int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ se adesso per sostituzione fai $\sqrt{x}=t$ da cui $x=t^2$ e $dx=2tdt$ l'integrale diventa:
$\int \frac{2tdt}{t\sqrt{t^2 -1}} dt = 2 \int \frac{1}{\sqrt{t^2 -1}} dt $ che è un integrale noto $= 2 log|t+\sqrt{t^2-1}| + c$
"mic999":
ciao,
per l'integrale delle funzioni trigonometriche puoi usare anche le relazioni parametriche:
$t=tan(x/2)$ da cui $sin(x)=\frac{2}{1+t^2}$ e $cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ e differenziale: $dx=\frac{2}{1+t^2}$ .. prova a sostituire e dovresti arrivare allo stesso risultato..
Per quanto riguarda l'ultimo integrale puoi risolverlo cosi.. te lo risolvo in modo indefinito, passare poi all'improprio è facile..
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx=\int \sqrt{\frac{x}{x^2 (x-1)}} dx= \int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ se adesso per sostituzione fai $\sqrt{x}=t$ da cui $x=t^2$ e $dx=2tdt$ l'integrale diventa:
$\int \frac{2tdt}{t\sqrt{t^2 -1}} dt = 2 \int \frac{1}{\sqrt{t^2 -1}} dt $ che è un integrale noto $= 2 log|t+\sqrt{t^2}-1| + c$
Grazie mille
Ciao mic999,
Fatta eccezione per la prima parte, la tua soluzione del secondo integrale proposto da marcodal97 non è corretta, così come non lo è la soluzione di marcodal97. Infatti si ha:
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 -1}} = 2 cosh^{-1} t + c = 2 ln(sqrt{t^2 - 1} + t) + c $
Ricordando che $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
$ \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x}) + c $
Perciò si ha:
$ \int_{1}^2 \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int_{1}^2 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 [ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x})]_{1}^2 = 2 ln(1 + sqrt{2}) $
Quanto ai primi due integrali proposti da marcodal97, sarei curioso di vedere la tua soluzione con le equazioni parametriche...
Fatta eccezione per la prima parte, la tua soluzione del secondo integrale proposto da marcodal97 non è corretta, così come non lo è la soluzione di marcodal97. Infatti si ha:
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 -1}} = 2 cosh^{-1} t + c = 2 ln(sqrt{t^2 - 1} + t) + c $
Ricordando che $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
$ \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x}) + c $
Perciò si ha:
$ \int_{1}^2 \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int_{1}^2 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 [ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x})]_{1}^2 = 2 ln(1 + sqrt{2}) $
Quanto ai primi due integrali proposti da marcodal97, sarei curioso di vedere la tua soluzione con le equazioni parametriche...
"pilloeffe":
Ciao mic999,
Fatta eccezione per la prima parte, la tua soluzione del secondo integrale proposto da marcodal97 non è corretta, così come non lo è la soluzione di marcodal97. Infatti si ha:
$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 -1}} = 2 cosh^{-1} t + c = 2 ln(sqrt{t^2 - 1} + t) + c $
Ricordando che $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
$ \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x}) + c $
Perciò si ha:
$ \int_{1}^2 \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int_{1}^2 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}} = 2 [ln(sqrt{x - 1} + sqrt{x})]_{1}^2 = 2 ln(1 + sqrt{2}) $
Quanto ai primi due integrali proposti da marcodal97, sarei curioso di vedere la tua soluzione con le equazioni parametriche...
Ciao,
non capisco dove trovi l'errore nella mia risoluzione (integrale notevole:http://www.math.it/formulario/integrali.htm)
Ultima modifica di mic999 il 22/09/2017, 09:46, modificato 1 volta in totale.
Beh, se lo correggi dopo va bene...
Sul sito http://www.math.it/formulario/integrali.htm è corretto.
Beh, se lo correggi dopo va bene...
Sul sito http://www.math.it/formulario/integrali.htm è corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo