Consiglio integrale doppio

[Gargaroth]

Ciao,
sulla scorta della seguente traccia:

$intint_A (x+y)e^(x^2+y^2)dxdy$
dove
A={$(x,y)$: modulo(x)+modulo(y)$<=1$}

io avrei impostato la soluzione dell'integrale in questo modo:

$intint_Af(x,y)dxdy$ = 4$int_0^1dx$$ int_1^(1-x)(x+y)e^(x^2+y^2)dy$

pensate ci sia una impostazione che renda piu' semplice la soluzione degli integrali monodimensionali risultanti? (mi riferisco in particolare a quelli nel dominio di x.

Grazie a tutti e buona giornata.

[Gargaroth]

seguendo, il metodo di cui nel thread, pervengo alla forma del tipo:


$4 int_0^1(xe^(1-2x+2x^2)/(2-2x)-x/2e^(x^2+1))+(e^(1-2x+2x^2)/2-e^(2(1-x)^2)/2)dx

[dissonance]

Così su due piedi mi viene in mente di ruotare $A$ di $pi/4$, in questa maniera diventa un quadrato "dritto" $[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]times[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$. forse è un po' più facile...

[Gargaroth]

"dissonance":Così su due piedi mi viene in mente di ruotare $A$ di $pi/4$, in questa maniera diventa un quadrato "dritto" $[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]times[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$. forse è un po' più facile...

Ti ringrazio...

[dissonance]

funziona? sto facendo qualche conto... la trasformazione è $((x),(y))=1/2((sqrt(2), sqrt(2)),(-sqrt(2), sqrt(2)))((X), (Y))$, il cui jacobiano è 1. $(x, y)$ variano in $A$ quando $(X, Y)$ variano nel quadrato $Q=[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]times[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$. Allora l'integrale diventa $intint_Qsqrt(2)Y"exp"[1/2(X^2+Y^2)]dXdY$ che si splitta facilmente data la forma di $Q$: (chiamo $I=[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$ per fare prima) $sqrt(2)int_IYdYint_Ie^((X^2)/2)e^((Y^2)/2)dX$. L'integrale in $Y$ è immediato, quello in $X$ penso si possa risolvere per parti.

[Gargaroth]

"dissonance":funziona? sto facendo qualche conto... la trasformazione è $((x),(y))=1/2((sqrt(2), sqrt(2)),(-sqrt(2), sqrt(2)))((X), (Y))$, il cui jacobiano è 1. $(x, y)$ variano in $A$ quando $(X, Y)$ variano nel quadrato $Q=[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]times[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$. Allora l'integrale diventa $intint_Qsqrt(2)Y"exp"[1/2(X^2+Y^2)]dXdY$ che si splitta facilmente data la forma di $Q$: (chiamo $I=[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]$ per fare prima) $sqrt(2)int_IYdYint_Ie^((X^2)/2)e^((Y^2)/2)dX$. L'integrale in $Y$ è immediato, quello in $X$ penso si possa risolvere per parti.

guarda... lo sto svolgendo anche io in questo modo e credo funzioni, pero' sul testo chiede di non trasformare il dominio.
Il problema è che, lasciando quel quadrato cosi', risolvere l'integrale in dx non è assolutamente semplice... Comunque ti ringrazio per il suggerimento.

[antani2]

Non vorrei dire una stupidaggine, ma è noto che tutti gli integrali nella forma $inte^(kx^2)$o simili non se ne riesca a ricavare una primitiva elementare, perciò secondo me nel metodo di entrambi voi vi ritrovate appunto a dover integrare rispetto alla x quel tipo di funzione che, mi riferisco anche a quello che ha detto gargaroth, non si riesce a fare per parti.
Secondo me si potrebbero provare le coordinate polari,ma non so se funzionerebbe...certo è molto invitante quel $(x^2+y^2) $ all'esponenziale...

[antani2]

Non è neanche legittimo eseguire l'integrale su un quarto, e poi moltiplicare per 4, operchè la funzione non è sempre positiva e simmetrica.
Anzi proprio per la sua simemtria rispetto alle bisettrici del piano xy, direi che l'integrale si può calcolare con considerazioni di simmetria senza eseguire il calcolo, perchè la parte per le x e y maggiori di 0 compensa quelle cper le x e y minori di 0, mentre quella per x>0 e y<0 compensa quella di x<0 e y>0....

Cmq se preferite controllare facendo il calcolo, in coordinate polari confermo che si riesce...

[dissonance]

@ antani: E hai ragione. E se facciamo la rotazione si vede ancora più facilmente. Comunque io stavo capronescamente facendo il conto in coordinate polari ma non concludo nulla: ai fini dell'esercizio non serve ma vorrei capire dove sbaglio.

dunque, da $int_Q(x+y)"exp"(x^2+y^2)"dxdy"$ passando a coordinate polari otteniamo $int_Drho(cos theta+ sin theta)"exp"(rho^2)*rho "d"rho"d"theta$. Dove $D={theta\in[-pi, pi], 0<=rho<=cos theta}$. E adesso come ci liberiamo di quel $int rho^2"exp"(rho^2)"d"rho$?

[gugo82]

Perchè perdersi in calcoli inutili?
L'integrale è nullo per ragioni di simmetria.

[antani2]

Infatti l'ho detto anch'io prima...