Consiglio eq. differenziale

[rocco.g1]

Stavo provando a risolvere queste equazione:

y'' * y^3 + 1 = 0

A parole: y secondo che moltiplica y elevato alla terza più uno.

Quale metodo di risoluzione mi consigliate ?

Ho provato con Bernoulli... ma non credo vada bene!

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto, sempre che abbia inteso correttamente, l’equazione può essere scritta nella forma…

y’’ = -1/y^3 (1)

… e pertanto rientra nel caso generale di una equazione del secondo ordine della froma…

y’’ = f(y) (2)

… il cui approccio ‘standard’ alla soluzione è il seguente. Con semplici passaggi sfruttando le prpèpità dei differenziale si può scrivere la (2) nella forma…

y’ * dy’/dy = f(y) (3)

… la quale è una equazione del primo ordine a variabili separate che integrata dà…

y’^2/2 = F(y) +c1 (4)

… ove F(y) è una qualunque primitiva di f(y) e c1 una ‘costante arbitraria’. Se riscriviamo la (4) come…

y’ = sqrt [2*F(y) +c1] (5)

… otteniamo nuovamente un’equazione del primo ordine a variabili separate che, integrata a sua volta, fornisce la seguente soluzione…

x= Int [1/sqrt [2*F(y)+c1] * dy] + c2 (6)

… ove c2 è un’altra ‘costante arbitraria’. A questo punto lascio a te trovare la soluzione nel caso f(y)=-1/y^3, anche perché se provo a fare i conti io, sicuramente sbaglio da qualche parte [;)]…

cordiali saluti

lupo grigio

[rocco.g1]

ciao!

Ok, proverò a fare come mi dici, mi sembra il modo più conveniente di risolverla!

Su questa avrei una domanda:



Ho pensato di sostituire z(x)= y' da cui y'' = zz'
Da cui ottengo che zz' + z = 2zy che posso risolvere con il metodo delle variabili separate, ottenendo: ( siccome la z si semplifica )
integrale di dz = integrale di 2y - 1 in dy da cui ottengo, tenendo conto della sostituzione di prima, che y' = y^2 - y + c1 che posso risolvere con Bernoulli, credo.

Volevo sapere se da questo punto in poi devo considerare c1 con tutti i calcoli che faccio, o se la posso momentaneamente togliere per poi metterla alla fine dei calcoli...

E' corretto il ragionamento sino a questo punto ?

[Sk_Anonymous]

Nella soluzione della prima equazione da te fornita si è fatto uso della identità…

y’’ = y’ * dy’/dy (1)

… e questa stessa può essere usata anche nel caso generale di una equazione differenziale della forma…

y’’ = f(y,y’,y’’)=0 (2)

Operando la sostituzione si ottiene una equazione del primo ordine nell’incognita y’ del tipo…

f(y,y’,y’*dy’/dy)=0 (3)

… la cui soluzione [se possibile si capisce...] fornisce a sua volta una equazione del primo ordine nella forma…

y’= g(y) (4)

… la quale può essere integrata a sua volta. E’ chiaro in genere che se una delle ‘condizioni iniziali’ riguarda la sola y’ la prima di esse può essere trovata al primo passo. L’esempio da te fornito è…

y’’ + y’ (1+2*y) =0
y’(0)=-2
y(0)= 1 (5)

… e quindi rientra in questo caso. Il primo passaggio consiste quindi nell’operare la sostituzione (1) e so ottiene…

y’ * (dy’/dx + 2*y + 1)=0 (6)

… ossia …

dy’/dy = -1 –2*y (7)

Questa equazione è di facile integrazione e il suo integrale generale è…

y’= -y – y^2 +c1 (8)

La condizione y’(0)=-2 permette di trovare subito la prima costante e si ottiene perciò c1=-2. A questo punto lascio a te trovare la soluzione…

cordiali saluti

lupo grigio



P.S. Con un poco di imbarazzo devo rettificare in parte quanto da me scritto. Quando ho affermato 'se una delle condizioni iniziali riguarda la sola y’ la prima di esse può essere trovata al primo passo' è vero, ma non in tutti i casi questo è possibile. Nell'esempio dato non è possibile in quanto al primo step di trova una soluzione intermedia del tipo y'=g(y) e non y'=g(x), per cui nessuna delle condizioni iniziali è utilizzabile e in tal caso la costante arbitraria c1 che compare nella (8) resta indeterminata e bisogna tirarsela dietro nei successivi step... Chiedo scusa per l'errore...