Consigli sulle Serie di potenze
Ciao a tutti ragazzi,avrei qualche problema sulla risoluzione delle serie di potenze,o meglio,sulla parte finale delle serie di potenze,mi spiego meglio:nessun problema per trovare il raggio di convergenza e il comportamento nell'estremo positivo ma quando poi devo cercare il comportamento in un estremo negativo e quindi ho a che fare con una serie a segni alterni ho grossi problemi anche perchè è quasi impossibile applicare il criterio di Leibiniz...come devo fare a risolvere il problema in maniera alternativa??
seconda cosa,strettamente collegata a questa,esiste un teorema che permette di confrontare due serie di potenze?? cioè se ho la serie di potenze data e trovo un altra serie di potenze meno complicata ed esiste finito e diverso da zero il limite del rapporto posso dire che le due serie hanno lo stesso carattere? ovvero posso calcolare raggio e comportamento agli estremi delle serie più semplice ed asserire che i risultati saranno esattamente identici anche per la serie inizialmente data??
Grazie mille a chiunque risponda
seconda cosa,strettamente collegata a questa,esiste un teorema che permette di confrontare due serie di potenze?? cioè se ho la serie di potenze data e trovo un altra serie di potenze meno complicata ed esiste finito e diverso da zero il limite del rapporto posso dire che le due serie hanno lo stesso carattere? ovvero posso calcolare raggio e comportamento agli estremi delle serie più semplice ed asserire che i risultati saranno esattamente identici anche per la serie inizialmente data??
Grazie mille a chiunque risponda
Risposte
"turihomer":
Ciao a tutti ragazzi,avrei qualche problema sulla risoluzione delle serie di potenze,o meglio,sulla parte finale delle serie di potenze,mi spiego meglio:nessun problema per trovare il raggio di convergenza e il comportamento nell'estremo positivo ma quando poi devo cercare il comportamento in un estremo negativo e quindi ho a che fare con una serie a segni alterni ho grossi problemi anche perchè è quasi impossibile applicare il criterio di Leibiniz...come devo fare a risolvere il problema in maniera alternativa??
seconda cosa,strettamente collegata a questa,esiste un teorema che permette di confrontare due serie di potenze?? cioè se ho la serie di potenze data e trovo un altra serie di potenze meno complicata ed esiste finito e diverso da zero il limite del rapporto posso dire che le due serie hanno lo stesso carattere? ovvero posso calcolare raggio e comportamento agli estremi delle serie più semplice ed asserire che i risultati saranno esattamente identici anche per la serie inizialmente data??
Grazie mille a chiunque risponda
Prova a postare un esempio penso sarebbe di aiuto ad ogni modo quando ti riconduci a una serie a valori reali le tecniche sono sempre quelle!
Per il secondo non comprendo la domanda voglio dire se confronti due serie, di cui una è minore/maggiore dell'altra i comportamenti possono esser enormemente differenti
$ sum_(n = 1)^( oo ) n(1/n - sen (1/n)) x^n $
Questa serie per esempio,ok il raggio di convergenza che risulta 1,ok che converge assolutamente in ]-1,1[ e non converge per |x|>1
va bene anche il comportamento nell'estremo x=1...ma per x=-1 come si fa? il criterio di Leibiniz non mi funziona,provare che an > an +1 neanche!...come devo fare???
Cmq nel mio libro di Analisi 1 c'è scritto che il corollario del criterio del confronto dice che se esiste finito e diverso da zero il limite per n che tende ad infinto del rapporto tra i termini generali delle due serie...allora le due serie sono entrambe convergenti o entrambe divergenti a più infinito
Questa serie per esempio,ok il raggio di convergenza che risulta 1,ok che converge assolutamente in ]-1,1[ e non converge per |x|>1
va bene anche il comportamento nell'estremo x=1...ma per x=-1 come si fa? il criterio di Leibiniz non mi funziona,provare che an > an +1 neanche!...come devo fare???
Cmq nel mio libro di Analisi 1 c'è scritto che il corollario del criterio del confronto dice che se esiste finito e diverso da zero il limite per n che tende ad infinto del rapporto tra i termini generali delle due serie...allora le due serie sono entrambe convergenti o entrambe divergenti a più infinito
nessuno che mi sa dare una mano con questa serie?! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
ho solo bisogno di sapere come la risolvereste nel caso x=-1...
ho solo bisogno di sapere come la risolvereste nel caso x=-1...
nel caso x=-1 è comunque una serie a termini alterni dunque se non puoi applicare Leibniz puoi provare o con abel o con dirichlet o con convergenza assoluta.
comunque per applicare il confronto devi garantire la non negatività delle serie!!
"avmarshall":
nel caso x=-1 è comunque una serie a termini alterni dunque se non puoi applicare Leibniz puoi provare o con abel o con dirichlet o con convergenza assoluta.
il mio problema è che una serie a segni alterni se non la so fare con Leibiniz non la so fare proprio....mi potresti spiegare o inviare dei link in cui vengono esposti gli altri metodi? grazie mille
l'assoluta convergenza non hai detto di averla già applicata? prova con quella prima di passare agli altri teoremi!
"avmarshall":
l'assoluta convergenza non hai detto di averla già applicata? prova con quella prima di passare agli altri teoremi!
si l ho provata ma mi viene un dubbio...quando faccio l'assoluta convergenza mi riconduco SEMPRE alla serie che avevo nel caso in cui x era uguale ad uno....con conseguenti identici risultati...ora mi chiedo...è possibile che tutte le serie abbiano il comportamento uguali nei due estremi??? dove sbaglio??
ma a te interessa solo che converge o diverge. se hai scoperto che ha lo stesso comportamento di x=1 meglio per te! ovviamente tu puoi dire che converge solo se converge assolutamente, quindi se scopri che per x=1 la serie converge allora converge anche quella con (-1)^n
il problema è che cosi tutte le serie convergono o divergono in entrambi gli estremi...mi sembra un po strano...boh...
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