Consigli sulla fattorizzazione e sui punti di minimo assoluto
Salve ragazzi, fra pochi giorni ho l'esame di Analisi Matematica 2 (integrali multipli, equazioni differenziali, limiti, continuità e differenziabilità, calcolo dei massimi e dei minimi) ma l'unica cosa che non riesco a fare è .... la fattorizzazione! E la fattorizzazione mi serve per studiare il segno della funzione...
Ad esempio c'è l'esercizio 4 preso da questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... ione_9.pdf
$4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4$
che fattorizzato risulta
$(x^2+y^2-1) (4x^2+y^2-4)$
ma non ho capito quali sarebbero i passaggi intermedi e non ho la più pallida idea di come ci si arrivi.....
Il resto dell'esercizio so farlo, l'unica cosa che mi manca è sempre la fattorizzazione....
Per favore qualcuno potrebbe farmi vedere i passaggi intermedi e darmi qualche consiglio su come si fattorizzano i polinomi in 2 variabili?
Grazie mille per l'attenzione...
Ad esempio c'è l'esercizio 4 preso da questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... ione_9.pdf
$4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4$
che fattorizzato risulta
$(x^2+y^2-1) (4x^2+y^2-4)$
ma non ho capito quali sarebbero i passaggi intermedi e non ho la più pallida idea di come ci si arrivi.....
Il resto dell'esercizio so farlo, l'unica cosa che mi manca è sempre la fattorizzazione....
Per favore qualcuno potrebbe farmi vedere i passaggi intermedi e darmi qualche consiglio su come si fattorizzano i polinomi in 2 variabili?
Grazie mille per l'attenzione...
Risposte
Puoi ordinare il polinomio rispetto a $y^2$ per applicare poi la formula di scomposizione del trinomio di secondo grado
[ non è un metodo valido sempre ma in diversi casi ci si azzecca
]
Nel tuo caso il trinomio si scrive come segue :
$(y^2)^2-5(1-x^2)(y^2)+(4x^4-8x^2+4)$
Le radici di quest'ultimo trinomio sono (verifica tu i calcoli):
$y_1^2=1-x^2,y_2^2=4-4x^2$
Pertanto, applicando opportunamente al caso nostro la nota formula di scomposizione $at^2+bt+c=a(t-t_1)(t-t_2)$, hai :
$1 cdot [y^2-y_1^2][y^2-y_2^2]=[y^2-(1-x^2)][y^2-(4-4x^2)]=(x^2+y^2-1)(4x^2+y^2-4)$
[ non è un metodo valido sempre ma in diversi casi ci si azzecca
]Nel tuo caso il trinomio si scrive come segue :
$(y^2)^2-5(1-x^2)(y^2)+(4x^4-8x^2+4)$
Le radici di quest'ultimo trinomio sono (verifica tu i calcoli):
$y_1^2=1-x^2,y_2^2=4-4x^2$
Pertanto, applicando opportunamente al caso nostro la nota formula di scomposizione $at^2+bt+c=a(t-t_1)(t-t_2)$, hai :
$1 cdot [y^2-y_1^2][y^2-y_2^2]=[y^2-(1-x^2)][y^2-(4-4x^2)]=(x^2+y^2-1)(4x^2+y^2-4)$
Wow grazie mille, ti ringrazio tantissimo. Adesso finita questa esercitazione proverò a fare altri esercizi sulla fattorizzazione provando il metodo che mi hai descritto.
Avrei un'altra curiosità sempre su questo stesso esercizio:
$f(x,y)=4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4$
L'estremo superiore di quella funzione su $R^2$ è $+infty$.
Invece l'estremo inferiore di quella funzione su $R^2$ non è $-infty$ ma nella soluzione non spiega perchè.
Io ho provato con varie restrizioni e in effetti non salta mai fuori $-infty$.
Ma come faccio a dimostrare che l'estremo inferiore non è $-infty$ e che quindi su $R^2$ quella funzione ha un minimo assoluto?
Avrei un'altra curiosità sempre su questo stesso esercizio:
$f(x,y)=4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4$
L'estremo superiore di quella funzione su $R^2$ è $+infty$.
Invece l'estremo inferiore di quella funzione su $R^2$ non è $-infty$ ma nella soluzione non spiega perchè.
Io ho provato con varie restrizioni e in effetti non salta mai fuori $-infty$.
Ma come faccio a dimostrare che l'estremo inferiore non è $-infty$ e che quindi su $R^2$ quella funzione ha un minimo assoluto?
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