Consigli studio carattere di serie numeriche
Ciao, sto studiando questo argomento e non riesco a capire come applicare i criteri per studiare il carattere di una serie numerica.
per esempio la serie: $ sum (n+log(n))/sqrt(n) $
ok, dovrebbe essere una serie a termini positivi, quindi posso utilizzare i criteri del confronto, rapporto, radice.
se volessi provare con quello del confronto, dovrei confrontare la serie con un'altra serie che so essere convergente (o divergente). però non sono sicuro di cosa fare. cioè so che la serie $ sum 1/n^a $ diverge per a<=1 e converge per a>1. però come faccio a sapere se questa serie e maggiore o minore di quella in esame?
spero di essermi spiegato...
e grazie...
per esempio la serie: $ sum (n+log(n))/sqrt(n) $
ok, dovrebbe essere una serie a termini positivi, quindi posso utilizzare i criteri del confronto, rapporto, radice.
se volessi provare con quello del confronto, dovrei confrontare la serie con un'altra serie che so essere convergente (o divergente). però non sono sicuro di cosa fare. cioè so che la serie $ sum 1/n^a $ diverge per a<=1 e converge per a>1. però come faccio a sapere se questa serie e maggiore o minore di quella in esame?
spero di essermi spiegato...
e grazie...
Risposte
Bè....in realtà in questo caso non serve, in ogni caso i confronti vanno fatti quando hai una serie, la quale differisce poco da una che tu conosci, e allora puoi fare un confronto, altrimenti non lo puoi fare a casaccio.
Servono poche righe per concludere su questa serie, hai dimenticato di fare una cosa FONDAMENTALE prima di avventurarti nei calcoli.....
Servono poche righe per concludere su questa serie, hai dimenticato di fare una cosa FONDAMENTALE prima di avventurarti nei calcoli.....
grazie per i consigli....
allora per risolvere sta serie cosa ho dimenticato di fare di fondamentale?
prima guardo il segno e poi cerco di capire cosa fa....cosa dimentico?
allora per risolvere sta serie cosa ho dimenticato di fare di fondamentale?
prima guardo il segno e poi cerco di capire cosa fa....cosa dimentico?
"carde":
grazie per i consigli....
allora per risolvere sta serie cosa ho dimenticato di fare di fondamentale?
prima guardo il segno e poi cerco di capire cosa fa....cosa dimentico?
Che la condizione necessaria affinché la serie $sum a_n$ converga è che...
...abbia un limite finito?
Allora visto che avevi chiesto come fare a fare il confronto, ti faccio un esempio, ma qui non è necessario fare un confronto.
Se avessi una serie, il cui termine è:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}[/tex]
E' a termini positivi.....e se ci fai caso e guardi il numeratore e il primo numero del denominatore...già osservi una serie notevole, e poi ti accorgi che:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}\leq \frac{1}{n^2}[/tex]
La serie di partenza è maggiorata dalla serie armonica generalizzata con esponente 2, che converge, dunque per il criterio del confronto quella di partenza converge.
Nel tuo caso non serve, ti sei già risposto...
Se avessi una serie, il cui termine è:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}[/tex]
E' a termini positivi.....e se ci fai caso e guardi il numeratore e il primo numero del denominatore...già osservi una serie notevole, e poi ti accorgi che:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}\leq \frac{1}{n^2}[/tex]
La serie di partenza è maggiorata dalla serie armonica generalizzata con esponente 2, che converge, dunque per il criterio del confronto quella di partenza converge.
Nel tuo caso non serve, ti sei già risposto...
"Darèios89":
Allora visto che avevi chiesto come fare a fare il confronto, ti faccio un esempio, ma qui non è necessario fare un confronto.
Se avessi una serie, il cui termine è:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}[/tex]
E' a termini positivi.....e se ci fai caso e guardi il numeratore e il primo numero del denominatore...già osservi una serie notevole, e poi ti accorgi che:
[tex]\frac{1}{n^2+n+4}\leq \frac{1}{n^2}[/tex]
La serie di partenza è maggiorata dalla serie armonica generalizzata con esponente 2, che converge, dunque per il criterio del confronto quella di partenza converge.
Nel tuo caso non serve, ti sei già risposto...
grazie un esempio era quello che mi serviva....
quindi per risolvere quella che ho messo di esempio mi basta fare il limite....
La risolvi nel senso che devi prima verificare se la condizione necessria alla convergenza sia verificata, se lo è ti avventuri nella risoluzione della serie.
Altrimenti se più felicemente vedi che il limtie diverge la serie sarà divergente perchè non è verificata la C.N. alla convergenza.
Altrimenti se più felicemente vedi che il limtie diverge la serie sarà divergente perchè non è verificata la C.N. alla convergenza.
"Darèios89":
La risolvi nel senso che devi prima verificare se la condizione necessria alla convergenza sia verificata, se lo è ti avventuri nella risoluzione della serie.
Altrimenti se più felicemente vedi che il limtie diverge la serie sarà divergente perchè non è verificata la C.N. alla convergenza.
con condizione necessaria intendi: $ |an - l| <= epsilon $
e domostro che esistono gli n per i quali la distanza tra il termine della serie e il suo limite è minore di un valore $ epsilon > 0 $ ???
se provo a svolgere il limite per n->INF mi viene infinito...è giusto?
"carde":Ma no!!! La condizione necessaria alla convergenza è che il termine generale sia infinitesimo, quindi il limite non deve genericamente essere finito ma deve valere proprio $0$.
...abbia un limite finito?
giusto....quindi dato che non sembrerebbe essere infinitesimo, a meno che non abbia sbagliato a calcolare il limite, questa serie non converge....
E certo che non è infinitesimo. Questo limite è davvero molto semplice da calcolare: a numeratore c'è un infinito del primo ordine, a denominatore un infinito di ordine $1/2$, il termine generale è infinito.
Esatto, scusa per la svista, il limite verificando la condizione necessaria alla convergenza deve essere 0.
Se trovi 1, 2, 10 100 1000 + inifnito o altro non è verificata.
Se trovi 1, 2, 10 100 1000 + inifnito o altro non è verificata.
grazie a tutti!
ora altri esempi:
$ sum 1/(n*log^2(n)) $
qui la condizione necessaria è verificata perchè il limite viene 0.
e per studiarne il carattere posso usare il criterio del confronto giusto?
ho anche un altro dubbio, $ log^2(n) $ non è come dire $ n^2 $ ???
ora altri esempi:
$ sum 1/(n*log^2(n)) $
qui la condizione necessaria è verificata perchè il limite viene 0.
e per studiarne il carattere posso usare il criterio del confronto giusto?
ho anche un altro dubbio, $ log^2(n) $ non è come dire $ n^2 $ ???
"carde":
...abbia un limite finito?
No.
Dev'essere $lim_(n->+oo) a_n = 0$ (dimostrazione: http://it.wikipedia.org/wiki/Serie#Cond ... onvergenza)
D'altronde se ci pensi è anche intuitivo: una serie è una somma di infiniti termini, come potrebbe questa somma essere finita se "prima o poi" gli addendi non diventano trascurabili rispetto ad essa?
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