Consigli limiti e matrici..
Ciao a tutti.. facendo gli esercizi in preparazione all'esame, ce ne sono un paio dove mi blocco..
LIMITI
1. $lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$ allora, io ho pensato..
$lim_(x->0^+)((1)/(0^+(log0^+)^2))$ $\to$ $lim_(x->0^+)((1)/((0^+) *((-oo)^2)))$ $\to$ $lim_(x->0^+)((1)/((0^+)* (+oo)))$
a questo punto $(0^+)*(oo)$ è una forma di indecisione..
allora posso provare a fare $x*logx = logx^x$ quindi il mio limite sarebbe:
$lim_(x->0^+)((1)/((logx^x)^2))$ ma ache così non saprei come andare avanti.. quale consiglio?
2. $lim_(n->+oo)((n^n -10log(n) -100^n))/(e^(2/n)))$ allora al numeratoreposso dire che due dati sono trascurabili e perciò diventa:
$lim_(n->+oo)((n^n)/(e^(2/n)))$ $\to$ $lim_(n->+oo)(((n/e^2))^n)$ e anche qui mi blocco sulla forma di indecisione..
MATRICI
1. stabilire i valori di $\alpha$ per cui il sistema Ax=b
A= $((-1,0,-2),(0,\alpha,1),(1,-1,\alpha))$ ed b=$((-1),(0),(1))$
a questo punto non so come procedere, ovvero devo calcolare $\alpha$ e in questo caso trovo che non ha soluzioni, oppure devo impostare:
$((-1,0,-2),(0,\alpha,1),(1,-1,\alpha))$ $*$ $((x),(y),(z))$ $=$ $((-1),(0),(1))$
e cosi facendo trovo:
$\{(-x -2z=-1),(\alphay + z=0),(x -y +\alphaz=1):}$ $\to$ $\{(x=-2z+1),(z=-\alphav),(alpha=(2z-1+y+1)/2z):}$ e quindi ottengo che $\alpha=y$ è giusto??
LIMITI
1. $lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$ allora, io ho pensato..
$lim_(x->0^+)((1)/(0^+(log0^+)^2))$ $\to$ $lim_(x->0^+)((1)/((0^+) *((-oo)^2)))$ $\to$ $lim_(x->0^+)((1)/((0^+)* (+oo)))$
a questo punto $(0^+)*(oo)$ è una forma di indecisione..
allora posso provare a fare $x*logx = logx^x$ quindi il mio limite sarebbe:
$lim_(x->0^+)((1)/((logx^x)^2))$ ma ache così non saprei come andare avanti.. quale consiglio?
2. $lim_(n->+oo)((n^n -10log(n) -100^n))/(e^(2/n)))$ allora al numeratoreposso dire che due dati sono trascurabili e perciò diventa:
$lim_(n->+oo)((n^n)/(e^(2/n)))$ $\to$ $lim_(n->+oo)(((n/e^2))^n)$ e anche qui mi blocco sulla forma di indecisione..
MATRICI
1. stabilire i valori di $\alpha$ per cui il sistema Ax=b
A= $((-1,0,-2),(0,\alpha,1),(1,-1,\alpha))$ ed b=$((-1),(0),(1))$
a questo punto non so come procedere, ovvero devo calcolare $\alpha$ e in questo caso trovo che non ha soluzioni, oppure devo impostare:
$((-1,0,-2),(0,\alpha,1),(1,-1,\alpha))$ $*$ $((x),(y),(z))$ $=$ $((-1),(0),(1))$
e cosi facendo trovo:
$\{(-x -2z=-1),(\alphay + z=0),(x -y +\alphaz=1):}$ $\to$ $\{(x=-2z+1),(z=-\alphav),(alpha=(2z-1+y+1)/2z):}$ e quindi ottengo che $\alpha=y$ è giusto??
Risposte
per il primo limite prova con l'hopital, portando (1+loxx)^2 al umeratore e cambiando di conseguenza l'esponente.
nel secondo sbagli il secondo passaggio, se raccogli l'esponente n, l'esponente dell'esponenziale al denominatore va diviso per n^2. comunque si fa con l'hopital pure quello.
per il sistema parametrico, prova a trovarti le soluzioni come faresti con un normale sistema: non devi esplicitare il parametro, ma le componenti del vettore (x, y, z). poi vediamo di risolvere.
nel secondo sbagli il secondo passaggio, se raccogli l'esponente n, l'esponente dell'esponenziale al denominatore va diviso per n^2. comunque si fa con l'hopital pure quello.
per il sistema parametrico, prova a trovarti le soluzioni come faresti con un normale sistema: non devi esplicitare il parametro, ma le componenti del vettore (x, y, z). poi vediamo di risolvere.
Allora per come dici tu, per la matrice:
$\{(x=-2z+1),(z=-\alphay),(y=alpha):}$ $\to$
$\{(x=-2(-ay)+1),(z=-\alpha*\alpha),(y=alpha):}$ $\to$
$\{(x=4\alpha +1),(z=-2\alpha),(y=alpha):}$
E quindi non cè nessun valore che sostituito ad $\alpha$ mi dia i valori $-1, 0, 1$ giusto?
ma qst non lo potevo intuire anche solo calcolando il DetA e vedendo che non ci sono valori possibili per $\alpha$?? grazie mille
Poi provo a fare i limiti e vedo se mi vengono
$\{(x=-2z+1),(z=-\alphay),(y=alpha):}$ $\to$
$\{(x=-2(-ay)+1),(z=-\alpha*\alpha),(y=alpha):}$ $\to$
$\{(x=4\alpha +1),(z=-2\alpha),(y=alpha):}$
E quindi non cè nessun valore che sostituito ad $\alpha$ mi dia i valori $-1, 0, 1$ giusto?
ma qst non lo potevo intuire anche solo calcolando il DetA e vedendo che non ci sono valori possibili per $\alpha$?? grazie mille
Poi provo a fare i limiti e vedo se mi vengono
non ti hanno insegnato il metodo di riduzione gaussiana (a gradini)? il sistema va discusso per $alpha$ diverso da 0 e -2, e poi per $alpha = -2$ e $alpha = 0$.
potevi calcolare il determinante, ma questo ti avrebbe solo dato l'informazione riguardante l'indipendenza di righe/colonne, mentre la consegna chiede un'altra cosa.
potevi calcolare il determinante, ma questo ti avrebbe solo dato l'informazione riguardante l'indipendenza di righe/colonne, mentre la consegna chiede un'altra cosa.
@jade: per il sistema secondo me ti conviene procedere così.
Ti calcoli il determinante di $A$ ($p(alpha)$) che sarà in funzione di $alpha$.
Trovi i valori di $alpha$ che lo annullano: per tutti gli altri valori il sistema ammette una e una sola soluzione essendo $rg(A)=3=rg(A|b)$.
Per gli altri valori di $alpha$ li vai a sostituire e studi se il sistema è compatibile ovvero se con quei $alpha$ $rg(A)=rg(A|b)$.
Ti calcoli il determinante di $A$ ($p(alpha)$) che sarà in funzione di $alpha$.
Trovi i valori di $alpha$ che lo annullano: per tutti gli altri valori il sistema ammette una e una sola soluzione essendo $rg(A)=3=rg(A|b)$.
Per gli altri valori di $alpha$ li vai a sostituire e studi se il sistema è compatibile ovvero se con quei $alpha$ $rg(A)=rg(A|b)$.
No mai fatto il metodo di riduzione gaussiana.. qualcuno me lo sa spiegare?
Cmq calcolando il detA in funzione di $\alpha$ il risulato è che non ci sono valori, nel senso che il $delta$ è nullo.
Cmq calcolando il detA in funzione di $\alpha$ il risulato è che non ci sono valori, nel senso che il $delta$ è nullo.
Non ho capito se intendi che è sempre nullo o sempre diverso da 0.
Comunque ricalcoalo; e prova poi a vedere con $alpha=1$.
Comunque ricalcoalo; e prova poi a vedere con $alpha=1$.
"DajeForte":
@jade: per il sistema secondo me ti conviene procedere così.
Ti calcoli il determinante di $A$ ($p(alpha)$) che sarà in funzione di $alpha$.
Trovi i valori di $alpha$ che lo annullano: per tutti gli altri valori il sistema ammette una e una sola soluzione essendo $rg(A)=3=rg(A|b)$.
Per gli altri valori di $alpha$ li vai a sostituire e studi se il sistema è compatibile ovvero se con quei $alpha$ $rg(A)=rg(A|b)$.
ho appunto sconsigliato di fare così, perchè è solo fatica in più per niente.
@jade.87: per risolvere il sistema puoi usare tranquillamente i metodi che conosci (la riduzione gaussiana è solo un metodo un po' più elegante nella forma, ma in sostanza è la stessa cosa). comunque i tuoi conti mi sembrano sbagliati, io ho trovato delle altre soluzioni
Il determinante di $A$ è uguale $-(alpha-1)^2$. Quindi per $alpha!=1$ il sistema ammette una sola soluzione.
Per $alpha=1$ basta osservare che $b$ è uguale alla prima colonna di $A$ ed ottieni che $rg(A)=2=rg(A|b)$ e quindi il sistema ha $infty^1$ soluzioni.
Per $alpha=1$ basta osservare che $b$ è uguale alla prima colonna di $A$ ed ottieni che $rg(A)=2=rg(A|b)$ e quindi il sistema ha $infty^1$ soluzioni.
enr87, non è che avresti voglia di dirmi dove sbaglio, anche domani con comodo.. grazie
allora, ho rifatto un po di calcoli:
LIMITI
$lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$
$lim_(x->0^+)((1)/(x*(logx)^2)$
Dato che otterei la forma di indecisione al denominatore $(0^+)*(-oo)$
E tu mi hai detto di usare l'Hopital, ma non si usa solo per le forme di indecisione $0/0$ e $oo/oo$??
mentre per la seconda, senza l'hopital non è giusta?
$lim_(x->+oo)((n^n -10logn - 100^n))/((e)^2n))$
$lim_(x->+oo)((n^n))/((e)^2n))$
$lim_(x->+oo)((n^n))*((e)^-2n))$
$lim_(x->+oo)((n*e)^(n-2n))$
$lim_(x->+oo)((n*e)^(-n))$
$n \to +oo$ n tende a +infinito
$e \to +oo$ e tende a +infinito
$lim_(x->+oo)((+oo * +oo)^(-n))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-n))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-(+oo)))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-oo))$
$lim_(x->+oo)((-oo))$
è giusta??
LIMITI
$lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$
$lim_(x->0^+)((1)/(x*(logx)^2)$
Dato che otterei la forma di indecisione al denominatore $(0^+)*(-oo)$
E tu mi hai detto di usare l'Hopital, ma non si usa solo per le forme di indecisione $0/0$ e $oo/oo$??
mentre per la seconda, senza l'hopital non è giusta?
$lim_(x->+oo)((n^n -10logn - 100^n))/((e)^2n))$
$lim_(x->+oo)((n^n))/((e)^2n))$
$lim_(x->+oo)((n^n))*((e)^-2n))$
$lim_(x->+oo)((n*e)^(n-2n))$
$lim_(x->+oo)((n*e)^(-n))$
$n \to +oo$ n tende a +infinito
$e \to +oo$ e tende a +infinito
$lim_(x->+oo)((+oo * +oo)^(-n))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-n))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-(+oo)))$
$lim_(x->+oo)((+oo )^(-oo))$
$lim_(x->+oo)((-oo))$
è giusta??
"jade.87":
enr87, non è che avresti voglia di dirmi dove sbaglio, anche domani con comodo.. grazie
bhè intanto ho sbagliato un calcolo io nella riduzione che ho fatto, comunque al di là di questo errore puoi fare sia col metodo del determinante, sia risolvendo il sistema. se non hai fatto la riduzione gaussiana forse è meglio se fai col determinante. quello che ho detto prima è semplicemente che è un po' più laborioso, non errato, perchè il sistema lo devi risolvere comunque. la soluzione di DajeForte è corretta.
non ho ancora capito quale sia il testo del secondo limite (il denominatore è elevato a 2, 2n o 2/n?)..
per quanto riguarda il primo, e la domanda che mi hai fatto, da una forma $0*infty$ ti puoi sempre ricondurre ad una forma 0/0 o $infty*infty$, infatti $0 = 1/infty$. per cui il primo limite diventa $\lim_{x to 0^+} \frac{x^-1}{(1+ \log(x))^2} $
per quanto riguarda il primo, e la domanda che mi hai fatto, da una forma $0*infty$ ti puoi sempre ricondurre ad una forma 0/0 o $infty*infty$, infatti $0 = 1/infty$. per cui il primo limite diventa $\lim_{x to 0^+} \frac{x^-1}{(1+ \log(x))^2} $
Nella seconda il denominatore è elevato alla $2n$
Quindi come l'ho svolta sopra è giusta?
Per la prima invece il risultato mi viene giusto, volevo sapere se era giusta però:
$lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$
$lim_(x->0^+)((x^-1)/((1+logx)^2))$
uso l'Hopital
$lim_(x->0^+)((-x^-2)/((2/x)))$
viene ancora indeterminata, riutilizzo l'Hopital
$lim_(x->0^+)((+2x^-3)/(2))$
$lim_(x->0^+)(x^-3) = +oo$
Quindi come l'ho svolta sopra è giusta?
Per la prima invece il risultato mi viene giusto, volevo sapere se era giusta però:
$lim_(x->0^+)((1)/(x(1+logx)^2))$
$lim_(x->0^+)((x^-1)/((1+logx)^2))$
uso l'Hopital
$lim_(x->0^+)((-x^-2)/((2/x)))$
viene ancora indeterminata, riutilizzo l'Hopital
$lim_(x->0^+)((+2x^-3)/(2))$
$lim_(x->0^+)(x^-3) = +oo$
Scusate, per la matrice invece il Det mi viene $-(\alpha-1)^2$; ma poi non mi è chiaro perche le soluzioni sono tutte tranne per &\alpha != 1&?? grazie a chiunque mi spieghi
hai sbagliato la derivata di $(1+logx)^2$, fai attenzione.
per quanto riguarda il determinante, ti hanno detto niente riguardo l'indipendenza delle righe? se il determinante è nullo hai che il sistema ha infinite soluzioni
per quanto riguarda il determinante, ti hanno detto niente riguardo l'indipendenza delle righe? se il determinante è nullo hai che il sistema ha infinite soluzioni
no nulla.. cmq ok.. ma perchè tranne per $\alpha != 1$?? Nel senso se il risultato fosse stato $(\alpha - 2)$ i risultati erano infiniti tranne per $\alpha != 2$??
Perchè la derivata del $log$ è sbagliata?? scusa la derivata è: $2*(1/x)$.. non vedo l'errore.. cavoli!
Perchè la derivata del $log$ è sbagliata?? scusa la derivata è: $2*(1/x)$.. non vedo l'errore.. cavoli!
per la derivata, è una funzione composta, quindi $D(1+logx)^2 = 2(1+logx)*1/x$.
per il determinante, un risultato importante da sapere è che se il determinante è nullo il sistema ha infinite soluzioni (si dimostra in algebra lineare). nel tuo caso, per $alpha=1$ il detrminante si annulla, quindi hai infinite soluzioni. per tutti gli altri valori di $alpha$ il determinante è diverso da 0, quindi se la soluzione esiste essa è unica.
per il determinante, un risultato importante da sapere è che se il determinante è nullo il sistema ha infinite soluzioni (si dimostra in algebra lineare). nel tuo caso, per $alpha=1$ il detrminante si annulla, quindi hai infinite soluzioni. per tutti gli altri valori di $alpha$ il determinante è diverso da 0, quindi se la soluzione esiste essa è unica.
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