Consigli convergenza uniforme successione di funzioni
Salve ragazzi...questi giorni sto andando completamente in crisi...sto svolgendo diversi esercizi sulle successioni di funzioni ma ho un grosso problema...la convergenza puntuale la trovo immediatamente mentre non riesco proprio a capire in quale/i intervallo/i la successione di funzioni converge uniformemente...in particolare ho difficoltà a calcolarmi sup $ |fn(x)-f(x)| $...come si ragiona in questo caso?...io faccio la derivata prima ma non sempre funziona...quando accade questo come mi comporto?...non so minimamente come procedere...vi sarei enormemente grato se mi deste delle delucidazioni...ho provato a vedere alcuni esercizi svolti su internet ma a volte non capisco nemmeno come fanno a raggiungere il risultato 
Risposte
Fai un esempio, ché a parlare così in generale si spreca solo tempo.
Inoltre, cerca di scrivere correttamente.
Esistono tanti altri segni d'interpunzione diversi dai puntini sospensivi: usali.
Inoltre, cerca di scrivere correttamente.
Esistono tanti altri segni d'interpunzione diversi dai puntini sospensivi: usali.
Ok, scusate per i puntini. Vi riporto tre esempi.
$ fn(x)=(1+x)/(x^n+n^2) $ con $ x in [0,+oo) $
$ fn(x)=(x^nsin(nx))/(x^(n+1)) $ con $ x in [0,1] $
$ fn(x)=x^nlog(x^n) $ con $ x in (0,1] $
Di queste successioni di funzioni non riesco a calcolarmi il sup e quindi la convergenza uniforme.
$ fn(x)=(1+x)/(x^n+n^2) $ con $ x in [0,+oo) $
$ fn(x)=(x^nsin(nx))/(x^(n+1)) $ con $ x in [0,1] $
$ fn(x)=x^nlog(x^n) $ con $ x in (0,1] $
Di queste successioni di funzioni non riesco a calcolarmi il sup e quindi la convergenza uniforme.
Comincia dalla prima, i.e.:
\[
f_n(x) :=\frac{1+x}{x^n+n}\ \qquad \text{con } x\in [0,\infty[\; .
\]
Innanzitutto, qual è la funzione limite?
[Ricordo che la funzione limite è definita ponendo per ogni \(x\), \(f(x):=\lim_n f_n(x)\); quindi, in questa prima parte, \(x\) è fisso ed \(n\) varia.]
Poi, forma la successione degli scarti \(|f_n(x)-f(x)|\).
Com'è questa funzione (continua, derivabile, etc...)?
Ora devi determinare \(\sup_{x\geq 0} |f_n(x)-f(x)|\).
[Nota che adesso è \(n\) ad essere fisso ed \(x\) a variare.]
Come si fa a determinare l'estremo superiore di una funzione?
Questa è tutta roba che dovresti conoscere da Analisi I, quindi cerca di ricordare e di ragionarci un po' su.
\[
f_n(x) :=\frac{1+x}{x^n+n}\ \qquad \text{con } x\in [0,\infty[\; .
\]
Innanzitutto, qual è la funzione limite?
[Ricordo che la funzione limite è definita ponendo per ogni \(x\), \(f(x):=\lim_n f_n(x)\); quindi, in questa prima parte, \(x\) è fisso ed \(n\) varia.]
Poi, forma la successione degli scarti \(|f_n(x)-f(x)|\).
Com'è questa funzione (continua, derivabile, etc...)?
Ora devi determinare \(\sup_{x\geq 0} |f_n(x)-f(x)|\).
[Nota che adesso è \(n\) ad essere fisso ed \(x\) a variare.]
Come si fa a determinare l'estremo superiore di una funzione?
Questa è tutta roba che dovresti conoscere da Analisi I, quindi cerca di ricordare e di ragionarci un po' su.
La funzione limite è $ f(x)=0 AA x in [0,+oo) $
Di conseguenza la successione degli scarti sarà $ |fn(x)-f(x)|=|(1+x)/(x^n+n^2)-0|=|(1+x)/(x^n+n^2)|=(1+x)/(x^n+n^2) $ perchè $x in [0,+oo)$
Per trovare il sup potrei considerare la derivata prima e studiarne il segno per avere gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Tuttavia trovo un pò complicato, in questo caso, riuscire a risalire al sup con questo metodo. Ho notato però che $ (1+x)/(x^n+n^2) < (1+x)/(n^2) $ .
Può essermi utile ai fini della risoluzione?
Di conseguenza la successione degli scarti sarà $ |fn(x)-f(x)|=|(1+x)/(x^n+n^2)-0|=|(1+x)/(x^n+n^2)|=(1+x)/(x^n+n^2) $ perchè $x in [0,+oo)$
Per trovare il sup potrei considerare la derivata prima e studiarne il segno per avere gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Tuttavia trovo un pò complicato, in questo caso, riuscire a risalire al sup con questo metodo. Ho notato però che $ (1+x)/(x^n+n^2) < (1+x)/(n^2) $ .
Può essermi utile ai fini della risoluzione?
Non ti è utile perché la maggiorante non è limitata superiormente.
Devi fare le derivate.
Devi fare le derivate.
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