Conservazione disuguaglianza stretta
Vorrei trovare un motivo valido per il quale se ho una funzione \(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle f(x)
$$\int_E f(x)\mathrm{d}x
dove:
1. \(\displaystyle E\subset\mathbb{R}^n \) limitato e con bordo a misura nulla,
2. \(\displaystyle \int_E f(x)\mathrm{d}x:=\int_{I\supset E} f_{\chi_E}(x)\mathrm{d}x \), con $I$ un qualsiasi rettangolo in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) contenente \(\displaystyle E \),
3. \(\displaystyle f_{\chi_E}(x)=\left\{\begin{matrix}
f(x),& x\in E\\
0, & x\notin E
\end{matrix}\right. \),
4. \(\displaystyle \mu(E) \) è la misura (secondo Jordan) dell'insieme $E$.
In maniera diretta non riesco a dimostrare che vale la disuguaglianza stretta in quanto dopo l'operazione di limite (delle somme di Riemann) il \(\displaystyle < \) diventa in generale un \(\displaystyle \leq \).
Ho provato allora per assurdo a supporre che, nonostante \(\displaystyle f(x)
$$\int_E f(x)\mathrm{d}x=M\cdot\mu(E)$$
Anche così, non riesco a trovare un assurdo.
Eppure intuitivamente mi pare una cosa così ovvia...
$$\int_E f(x)\mathrm{d}x
dove:
1. \(\displaystyle E\subset\mathbb{R}^n \) limitato e con bordo a misura nulla,
2. \(\displaystyle \int_E f(x)\mathrm{d}x:=\int_{I\supset E} f_{\chi_E}(x)\mathrm{d}x \), con $I$ un qualsiasi rettangolo in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) contenente \(\displaystyle E \),
3. \(\displaystyle f_{\chi_E}(x)=\left\{\begin{matrix}
f(x),& x\in E\\
0, & x\notin E
\end{matrix}\right. \),
4. \(\displaystyle \mu(E) \) è la misura (secondo Jordan) dell'insieme $E$.
In maniera diretta non riesco a dimostrare che vale la disuguaglianza stretta in quanto dopo l'operazione di limite (delle somme di Riemann) il \(\displaystyle < \) diventa in generale un \(\displaystyle \leq \).
Ho provato allora per assurdo a supporre che, nonostante \(\displaystyle f(x)
$$\int_E f(x)\mathrm{d}x=M\cdot\mu(E)$$
Anche così, non riesco a trovare un assurdo.
Eppure intuitivamente mi pare una cosa così ovvia...
Risposte
Se E ha misura nulla allora si ha un'uguaglianza, altrimenti considera $\intM-f$ e prova a mostrare che non può essere nullo (ti può essere utile sapere che una successione decrescente di compatti di $\mathbb{R}^n$ non vuoti ha intersezione non vuota).
Credo che mi serva un'altra spintina... 
Forse ci sono.
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) integrabile in $E$ (non a misura nulla) e sempre positiva \(\displaystyle \Rightarrow f \) limitata e con al più un insieme di discontinuità a misura nulla. Esiste pertanto almeno un punto $x_0\in E$ in cui $f$ è continua.
Prendiamo allora in particolare un intervallo \(\displaystyle U^\delta_E(x_0) \) in cui \(\displaystyle f(x)\geq f(x_0)/2 \) e consideriamo la somma di Darboux superiore su una qualsiasi partizione $(P,\xi)$ a mesh \(\displaystyle <\delta \) dell'intervallo $I\supset E$:
$$S(f_{\chi_E},P)=\sum_{k=1}^{n(P)}\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|=\sum_{I_k: I_k\cap U^\delta_E(x_0)\neq \emptyset }\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|+\underbrace{\sum_{I_k: I_k\cap U^\delta_E(x_0)=\emptyset}\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|}_{\geq 0}\geq \frac{f(x_0)}{2}\mu(U^\delta_E(x_0))$$
da cui segue che, essendo $f$ integrabile:
$$\int_E f(x) \mathrm{d}x=\lim_{\lambda(P)\to 0}S(f_{\chi_E},P)\geq \frac{f(x_0)}{2}\mu(U^\delta_E(x_0))>0$$
Può andare?
Edit: niente, ancora non va bene, l’ultimo passaggio è sbagliato. Mi servirebbe far vedere che esiste almeno un intorno di un punto di E che non sia a misura nulla.
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) integrabile in $E$ (non a misura nulla) e sempre positiva \(\displaystyle \Rightarrow f \) limitata e con al più un insieme di discontinuità a misura nulla. Esiste pertanto almeno un punto $x_0\in E$ in cui $f$ è continua.
Prendiamo allora in particolare un intervallo \(\displaystyle U^\delta_E(x_0) \) in cui \(\displaystyle f(x)\geq f(x_0)/2 \) e consideriamo la somma di Darboux superiore su una qualsiasi partizione $(P,\xi)$ a mesh \(\displaystyle <\delta \) dell'intervallo $I\supset E$:
$$S(f_{\chi_E},P)=\sum_{k=1}^{n(P)}\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|=\sum_{I_k: I_k\cap U^\delta_E(x_0)\neq \emptyset }\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|+\underbrace{\sum_{I_k: I_k\cap U^\delta_E(x_0)=\emptyset}\sup_{x\in I_k}f_{\chi_E}(x) |I_k|}_{\geq 0}\geq \frac{f(x_0)}{2}\mu(U^\delta_E(x_0))$$
da cui segue che, essendo $f$ integrabile:
$$\int_E f(x) \mathrm{d}x=\lim_{\lambda(P)\to 0}S(f_{\chi_E},P)\geq \frac{f(x_0)}{2}\mu(U^\delta_E(x_0))>0$$
Può andare?
Edit: niente, ancora non va bene, l’ultimo passaggio è sbagliato. Mi servirebbe far vedere che esiste almeno un intorno di un punto di E che non sia a misura nulla.
Prova a mostrare che esiste un punto in cui $g = M-f$ è continua sfruttando il fatto che l'oscillazione di f 'non può essere grande ovunque'.
Dato che E ha misura non nulla puoi considerare g definita su un rettangolo per comodità.
Dato che E ha misura non nulla puoi considerare g definita su un rettangolo per comodità.
Il fatto che esista almeno un punto di continuità si può dire subito senza passare per le oscillazioni no? Basta usare il criterio di Lebesgue. Se fosse discontinua ovunque, il suo dominio sarebbe a misura nulla (in quanto integrabile), ma non è così per ipotesi.
Allora se sai già che è continua in un punto dovresti concludere quasi subito: se g è continua in $x_0$ esiste un intorno di $x_0$ in cui vale $g(x) > g(x_0)/2>0$ e quindi...
E quindi arrivo a quanto ho scritto sopra, ma che ne so che quell’intorno non ha misura nulla?
Quello è un intorno in $E$, non genericamente in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Detta in altro modo: può esistere un insieme non a misura nulla, in cui però per qualsiasi punto si trova sempre un suo intorno a misura nulla?
Quello è un intorno in $E$, non genericamente in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
Detta in altro modo: può esistere un insieme non a misura nulla, in cui però per qualsiasi punto si trova sempre un suo intorno a misura nulla?
E contiene un rettangolo R, la restrizione $g: R \to (0, +\infty)$ ha un punto in cui è continua.
Non riesco a capire perché dici che $E$ contiene sicuramente un rettangolo.
$E$ è un 'admissible set', cioè un insieme che è limitato e con boundary a misura nulla. La sua Jordan-misura (che per ipotesi è diversa da zero) io la intendo così:
$$\mu (E):= \int_E 1 \mathrm{d}x := \int_{I\supset E} \chi_E (x) \mathrm{d}x$$
dove gli integrali sono sempre secondo Riemann.
Da qui come deduci che $E$ contiene un rettangolo?
$E$ è un 'admissible set', cioè un insieme che è limitato e con boundary a misura nulla. La sua Jordan-misura (che per ipotesi è diversa da zero) io la intendo così:
$$\mu (E):= \int_E 1 \mathrm{d}x := \int_{I\supset E} \chi_E (x) \mathrm{d}x$$
dove gli integrali sono sempre secondo Riemann.
Da qui come deduci che $E$ contiene un rettangolo?
L'integrale è il sup delle somme inferiori calcolate su griglie di rettangoli; se non esistesse un rettangolo contenuto in E allora tutte le somme inferiori sarebbero nulle e quindi pure $\mu(E) = 0$, ti torna?
Grazie mille.
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