Conservatività e potenziale
Salve a tutti, non ho capito bene una cosa sui campi vettoriali.
Se un campo vettoriale è conservativo, ammette, per definizione, un potenziale. Giusto?
Ma se il campo vettoriale non è conservativo, il potenziale può comunque esistere?
Mi spiego meglio postando un esercizio sul quale mi è venuto questo dubbio:
Il campo vettoriale in questione è:
$F(x,y,z)=((2xz-y)/(x^2+y^2),(x+2yz)/(x^2+y^2),log(x^2+y^2))$
Allora, il dominio è chiaramente: $D_F={(x,y,z) in RR^3 : x!=0 , y!=0}$
Quindi tutto $RR^3$ tranne la retta $z$. Tale dominio non è semplicemente connesso.
Studio la chiusura della forma differenziale e mi esce che $rotF=(0,0,0)$, quindi il campo vettoriale è irrotazionale.
Per verificare se la forma differenziale è esatta calcolo l'integrale curvilineo lungo la curva parametrizzata come $x(t)=cos \theta , y(t)=sin \theta , z(t)=0$ e l'integrale risulta essere uguale a $2pi$, pertanto posso concludere che la forma differenziale non è esatta e dunque il campo vettoriale non è conservativo.
A questo punto concluderei dicendo che il campo vettoriale non ammette un potenziale poichè non è conservativo ma, se provo a cercarlo, trovo $f(x,y,z)=zlog(x^2+y^2)-arctan(x/y)+k, k in RR$ che effettivamente è un potenziale di $F$ poichè $\grad f(x,y,z)=F(x,y,z)$
Ecco che torna il mio dubbio iniziale su l'esistenza del potenziale.
E' forse solo la chiusura della forma differenziale a garantirmi l'esistenza del potenziale?
Cioè, se la forma differenziale è chiusa, il potenziale esiste per definizione?
Se un campo vettoriale è conservativo, ammette, per definizione, un potenziale. Giusto?
Ma se il campo vettoriale non è conservativo, il potenziale può comunque esistere?
Mi spiego meglio postando un esercizio sul quale mi è venuto questo dubbio:
Il campo vettoriale in questione è:
$F(x,y,z)=((2xz-y)/(x^2+y^2),(x+2yz)/(x^2+y^2),log(x^2+y^2))$
Allora, il dominio è chiaramente: $D_F={(x,y,z) in RR^3 : x!=0 , y!=0}$
Quindi tutto $RR^3$ tranne la retta $z$. Tale dominio non è semplicemente connesso.
Studio la chiusura della forma differenziale e mi esce che $rotF=(0,0,0)$, quindi il campo vettoriale è irrotazionale.
Per verificare se la forma differenziale è esatta calcolo l'integrale curvilineo lungo la curva parametrizzata come $x(t)=cos \theta , y(t)=sin \theta , z(t)=0$ e l'integrale risulta essere uguale a $2pi$, pertanto posso concludere che la forma differenziale non è esatta e dunque il campo vettoriale non è conservativo.
A questo punto concluderei dicendo che il campo vettoriale non ammette un potenziale poichè non è conservativo ma, se provo a cercarlo, trovo $f(x,y,z)=zlog(x^2+y^2)-arctan(x/y)+k, k in RR$ che effettivamente è un potenziale di $F$ poichè $\grad f(x,y,z)=F(x,y,z)$
Ecco che torna il mio dubbio iniziale su l'esistenza del potenziale.
E' forse solo la chiusura della forma differenziale a garantirmi l'esistenza del potenziale?
Cioè, se la forma differenziale è chiusa, il potenziale esiste per definizione?
Risposte
Ciao!
No. Parlando di forme differenziali, se una f.d. è esatta allora per definizione essa ammette un potenziale.
Prendiamo invece una f.d. generica, se essa è chiusa su un insieme stellato (o semplicemente connesso, come vuoi) allora c'è un teorema che ci assicura la esattezza della f.d.
In sostanza:
La chiusura di una f.d. è condizione necessaria affinché essa sia esatta.
La chiusura di una f.d. su uno stellato è condizione sufficiente affinché essa sia esatta.
"bellrodo":
Se un campo vettoriale è conservativo, ammette, per definizione, un potenziale. Giusto?
No. Parlando di forme differenziali, se una f.d. è esatta allora per definizione essa ammette un potenziale.
Prendiamo invece una f.d. generica, se essa è chiusa su un insieme stellato (o semplicemente connesso, come vuoi) allora c'è un teorema che ci assicura la esattezza della f.d.
In sostanza:
La chiusura di una f.d. è condizione necessaria affinché essa sia esatta.
La chiusura di una f.d. su uno stellato è condizione sufficiente affinché essa sia esatta.
Grazie per la risposta.
Ma quando una forma differenziale non è esatta, il potenziale può esistere?
Immagino di si visto la risoluzione dell'esercizio che ho postato.
Se la forma differenziale non è esatta, cosa mi garantisce l'esistenza del potenziale?
La chiusura della forma differenziale? Anche se è chiusa su un insieme non semplicemente connesso?
"singularity":
No. Parlando di forme differenziali, se una f.d. è esatta allora per definizione essa ammette un potenziale.
Ma quando una forma differenziale non è esatta, il potenziale può esistere?
Immagino di si visto la risoluzione dell'esercizio che ho postato.
Se la forma differenziale non è esatta, cosa mi garantisce l'esistenza del potenziale?
La chiusura della forma differenziale? Anche se è chiusa su un insieme non semplicemente connesso?
Fai attenzione a cosa è necessario e cosa è sufficiente! Rileggi bene il mio post precedente. E ricordati che la definizione di forma differenziale esatta è:
Sia $ Omega$ aperto $Omega in RR^n$ e sia $omega$ f.d. su $Omega$ se esiste $ U sube C^2(Omega, RR) $ tale che:
$d U = omega$
Allora $omega$ si dice esatta.
Dunque non avrebbe senso parlare di potenziale di una forma differenziale non esatta.
Sia $ Omega$ aperto $Omega in RR^n$ e sia $omega$ f.d. su $Omega$ se esiste $ U sube C^2(Omega, RR) $ tale che:
$d U = omega$
Allora $omega$ si dice esatta.
Dunque non avrebbe senso parlare di potenziale di una forma differenziale non esatta.
E' tutto chiaro quello che hai scritto, ma è proprio questo che non capisco:
Nel esercizio che ho svolto, ho verificato che la forma differenziale non è esatta, poichè l'integrale di linea lungo la curva che ho parametrizzato è diverso da 0, però riesco comunque a trovare un potenziale.
E' questo che non riesco a capire.
Come mai riesco a trovare un potenziale nonostante la forma differenziale risulta essere non esatta?
"singularity":
Dunque non avrebbe senso parlare di potenziale di una forma differenziale non esatta.
Nel esercizio che ho svolto, ho verificato che la forma differenziale non è esatta, poichè l'integrale di linea lungo la curva che ho parametrizzato è diverso da 0, però riesco comunque a trovare un potenziale.
E' questo che non riesco a capire.
Come mai riesco a trovare un potenziale nonostante la forma differenziale risulta essere non esatta?
Ok questa è un'altra questione. $RR^3$ privato dell'asse $z$ non è un dominio semplicemente connesso e ok. Ma se prendi un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio lì la f.d. continuerà a essere chiusa e "localmente esatta".
Ok, quindi posso affermare che il campo vettoriale non è conservativo ma ammette dei potenziali locali.
Ovvero, poichè la forma differenziale è chiusa, ammette dei potenziali locali nei sottoinsiemi semplicemente connessi del dominio, dove appunto risulta essere anche esatta, giusto?
Quindi nel mio esercizio dovrei specificare che il potenziale esiste per $x!=0$ e $y!=0$?
Grazie mille!
Altra domanda, (forse stupida) ha senso dire che un campo vettoriale è conservativo localmente?
Ovvero, poichè la forma differenziale è chiusa, ammette dei potenziali locali nei sottoinsiemi semplicemente connessi del dominio, dove appunto risulta essere anche esatta, giusto?
Quindi nel mio esercizio dovrei specificare che il potenziale esiste per $x!=0$ e $y!=0$?
Grazie mille!
Altra domanda, (forse stupida) ha senso dire che un campo vettoriale è conservativo localmente?
Per dirla esattamente la forma differenziale è esatta (o il campo è conservativo) sulle componenti semplicemente connesse di $D_F$, se dici che è localmente esatta di solito intendi questo.
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