Conservativita' campo vettoriale
Salve a tutti!
Abuso nuovamente della vostra disponibilita' per cercare di uscire dal bicchiere d'acqua in cui penso di essermi perso.
Il problema e' il seguente:
siano $ f in C^1(RR,RR)$ e $g:RR^2\rightarrowRR^2$ radiale, definita come $g(x,y)=f(||(x,y)^T||)(x,y)^T$.
Calcolare jacobiana, gradiente e rotore di g, e verificare che g e' conservativa.
Inizialmente ho calcolato jacobiana, rot e div per $g(x,y)$, ottenendo che $g(x,y)$ e' irrotazionale. Riporto la jacobiana:
$ Jg(x,y)=( ( f(||(x,y)^T||)+x^2f^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| , xyf^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| ),( xyf^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| , f(||(x,y)^T||)+y^2f^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| ) ) $
da cui si vede che $g(x,y)$ e' irrotazionale. A questo punto, per dimostrare la conservativita' ho pensato di usare il Lemma di Poincare': purtroppo pero' $g(x,y) notin C^1(RR^2,RR^2)$, non essendo le sue dervate parziali definite per $(x,y)^T=(0,0)^T$.
Complice il fatto che nel tema d'esame che sto svolgendo lo spazio per svolgere gli esercizi sia delimitato da dei riquadri, so che mi vengono date solo un paio di righe per dimostrare la conservativita', e quindi mi insospettisce che non si possa applicare il lemma di poincare'; l'altra cosa che mi insospettisce e' che ho provato a ricalcolare jacobiano, rot e div utilizzando le coordinate polari piane, ed ottengo questo jacobiano
$Jg(\rho,\vartheta)=((cos(\vartheta)[\rhof^{\prime}(\rho)+f(\rho)],-\rhof(\rho)sin(\vartheta) ),(sin(\vartheta)[\rhof^{\prime}(\rho)+f(\rho)],\rhof(\rho)cos(\vartheta)))$
e mi risulta qui che $g(\rho,\vartheta)$ non sia irrotazionale!
Suggerimenti su dove stia sbagliando?
Grazie in anticipo
G
edit: corretto errore di battitura.
Abuso nuovamente della vostra disponibilita' per cercare di uscire dal bicchiere d'acqua in cui penso di essermi perso.
Il problema e' il seguente:
siano $ f in C^1(RR,RR)$ e $g:RR^2\rightarrowRR^2$ radiale, definita come $g(x,y)=f(||(x,y)^T||)(x,y)^T$.
Calcolare jacobiana, gradiente e rotore di g, e verificare che g e' conservativa.
Inizialmente ho calcolato jacobiana, rot e div per $g(x,y)$, ottenendo che $g(x,y)$ e' irrotazionale. Riporto la jacobiana:
$ Jg(x,y)=( ( f(||(x,y)^T||)+x^2f^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| , xyf^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| ),( xyf^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| , f(||(x,y)^T||)+y^2f^{\prime}(||(x,y)^T||)/||(x,y)^T|| ) ) $
da cui si vede che $g(x,y)$ e' irrotazionale. A questo punto, per dimostrare la conservativita' ho pensato di usare il Lemma di Poincare': purtroppo pero' $g(x,y) notin C^1(RR^2,RR^2)$, non essendo le sue dervate parziali definite per $(x,y)^T=(0,0)^T$.
Complice il fatto che nel tema d'esame che sto svolgendo lo spazio per svolgere gli esercizi sia delimitato da dei riquadri, so che mi vengono date solo un paio di righe per dimostrare la conservativita', e quindi mi insospettisce che non si possa applicare il lemma di poincare'; l'altra cosa che mi insospettisce e' che ho provato a ricalcolare jacobiano, rot e div utilizzando le coordinate polari piane, ed ottengo questo jacobiano
$Jg(\rho,\vartheta)=((cos(\vartheta)[\rhof^{\prime}(\rho)+f(\rho)],-\rhof(\rho)sin(\vartheta) ),(sin(\vartheta)[\rhof^{\prime}(\rho)+f(\rho)],\rhof(\rho)cos(\vartheta)))$
e mi risulta qui che $g(\rho,\vartheta)$ non sia irrotazionale!
Suggerimenti su dove stia sbagliando?
Grazie in anticipo
G
edit: corretto errore di battitura.
Risposte
Un campo radiale è sempre conservativo e il suo potenziale è la primitiva di $[rf(r)]$.
Sono d'accordo con lo svolgimento di Sergeant Elias. In ogni caso, credo che il problema dell'OP siano le terribili notazioni che oscurano ciò che accade veramente. Infatti, il campo vettoriale è differenziabile anche nell'origine, essenzialmente perché tutti i denominatori \(\| \mathbf x \|\) che compaiono nella matrice Jacobiana sono compensati da termini quadratici (\(x^2, xy, y^2\)) al numeratore. Quindi alla fine dei calcoli il campo vettoriale deve risultare conservativo su tutto \(\mathbb R^2\).
"anonymous_0b37e9":
Un campo radiale è sempre conservativo e il suo potenziale è la primitiva di $[rf(r)]$.
Grazie del suggerimento, purtroppo questo ero gia' riuscito a stabilirlo: nell'esercizio mi era richiesta pero' una verifica di cio', ed e' qui che mi sono perso. Suggerimenti su come dimostrare cio'? Domani provero' a scartabellare fra i miei libri/appunti di fisica, magari la ho qualche cenno di dimostrazione fatta in merito a campi radiali.
"dissonance":
Sono d'accordo con lo svolgimento di Sergeant Elias. In ogni caso, credo che il problema dell'OP siano le terribili notazioni che oscurano ciò che accade veramente. Infatti, il campo vettoriale è differenziabile anche nell'origine, essenzialmente perché tutti i denominatori \( \| \mathbf x \| \) che compaiono nella matrice Jacobiana sono compensati da termini quadratici (\( x^2, xy, y^2 \)) al numeratore. Quindi alla fine dei calcoli il campo vettoriale deve risultare conservativo su tutto \( \mathbb R^2 \).
Le notazioni sono in effetti non trasparentissime, e capisco quanto dici: qualche suggerimento su come rendere cio' piu' evidente?
Pensavo le coordinate polari avrebbero risolto il mio problema, ho sbagliato/dimenticato qualcosa nel passaggio? Non capisco perche' la jacobiana di $g(\rho,\vartheta)$ non sia simmetrica.
Grazie a tutti dell'aiuto
G
"gorgeous.george":
Suggerimenti su come dimostrare cio'?
Puoi tranquillamente procedere calcolando il gradiente di $[rf(r)]$ e verificando che è uguale al campo vettoriale di partenza. Più intuitivamente, per definizione di integrale curvilineo su una curva orientata, è piuttosto evidente che esso sia nullo lungo una qualsiasi circonferenza centrata nell'origine e di raggio arbitrariamente piccolo (la circuitazione elementare è ovunque nulla). Questa osservazione ti permette di concludere che un qualsiasi campo radiale, anche se presenta una singolarità nell'origine, è conservativo.
"dissonance":
... il campo vettoriale è differenziabile anche nell'origine ...
In effetti, essendo $f(r)$ di classe $C^1$, il campo è sufficientemente "bello" perfino nell'origine. Non lo avevo notato.
"gorgeous.george":
Pensavo le coordinate polari avrebbero risolto il mio problema, ho sbagliato/dimenticato qualcosa nel passaggio? Non capisco perche' la jacobiana di $g(\rho,\vartheta)$ non sia simmetrica.
Le coordinate polari sono spesso utili ma devi saperle usare. Qua dovresti scrivere il campo vettoriale così:
\[
\mathbf g = rf(r)\mathbf e_r,\]
dove \(e_r\) è il versore associato alla coordinata \(r\), e poi calcolare il rotore usando la formula appropriata che trovi qui:
http://mathworld.wolfram.com/Cylindrica ... nates.html
(tenendo \(z=0\) perché sei nel piano).
Se tutto questo ti giunge nuovo, lascia perdere per il momento.
"dissonance":
Se tutto questo ti giunge nuovo, lascia perdere per il momento.
No tutto chiarissimo, e grazie mille. Sono un po' arrugginito con i cambi di coordinate, ma non sono una novita'. Anzi, mi sembra un chiaro segnale che sia giunto il momento di fare un ripasso.
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