Conseguenza del teorema di Schwarz
Ciao a tutti, vi scrivo per poter chiarire un teorema che ha messo in dubbio tutte le mie certezze. Il teorema in questione è una conseguenza del teorema di Schwarz che afferma:
Se le derivate seconde sono differenziabili, per le derivate terze l'ordine di derivazione è invertibile.
Vi riporto la dimostrazione con le parti che non mi sono chiare.
La differenziabilità delle derivate seconde implica la differenziabilità delle derivate prime, infatti la differenziabilità delle derivate seconde implica la continuità delle derivate seconde stesse e la continuità delle derivate seconde implica la differenziabilità delle derivate prime poiché se le derivate seconde sono continue significa che le derivate prime sono derivabili parzialmente con derivate parziali continue e il teorema del differenziale ci permette di concludere che le derivate prime sono differenziabili.
Per il teorema di Schwarz, poiché le derivate prime sono differenziabili, si ha $f_{xy}=f_{yx}$ e di conseguenza $f_{xyx}=f_{yx x}$, $f_{xyy}=f_{yxy}$.
(Perché si è dovuto mettere in evidenza che le derivate prime sono differenziabili? Vi riporto il ragionamento che ho fatto per darmi una risposta a questa domanda e chiedervi se sia corretto o meno: le ipotesi del teorema di Schwarz sono l'esistenza delle derivate seconde miste e la loro continuità in un punto. La differenziabilità delle derivate prime implica la derivabilità e quindi l'esistenza delle derivate parziali seconde e l'ipotesi della differenziabilità delle derivate seconde ci permette di poter dire che le derivate seconde sono continue quindi le ipotesi del teorema di Schwarz sono soddisfatte e si ha l'uguaglianza delle derivate seconde miste.. è un ragionamento corretto e soprattutto risponde alla mia domanda oppure no?)
La dimostrazione prosegue affermando che poiché le derivate seconde sono differenziabili, applicando il teorema di Schwarz alle derivate prime si ha: $f_{xyx}=f_{x xy}$, $f_{y x y}=f_{yyx}$.
Questo passaggio non mi è molto chiaro, perché la differenziabilità delle derivate seconde ci permette di dire che le ipotesi del teorema di Schwarz sono soddisfatte e di avere quest'uguaglianza?
Alla fine otteniamo che $f_{xyx}=f_{yx x}=f_{f x xy}$, $f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}$
Vi ringrazio in anticipo!
Se le derivate seconde sono differenziabili, per le derivate terze l'ordine di derivazione è invertibile.
Vi riporto la dimostrazione con le parti che non mi sono chiare.
La differenziabilità delle derivate seconde implica la differenziabilità delle derivate prime, infatti la differenziabilità delle derivate seconde implica la continuità delle derivate seconde stesse e la continuità delle derivate seconde implica la differenziabilità delle derivate prime poiché se le derivate seconde sono continue significa che le derivate prime sono derivabili parzialmente con derivate parziali continue e il teorema del differenziale ci permette di concludere che le derivate prime sono differenziabili.
Per il teorema di Schwarz, poiché le derivate prime sono differenziabili, si ha $f_{xy}=f_{yx}$ e di conseguenza $f_{xyx}=f_{yx x}$, $f_{xyy}=f_{yxy}$.
(Perché si è dovuto mettere in evidenza che le derivate prime sono differenziabili? Vi riporto il ragionamento che ho fatto per darmi una risposta a questa domanda e chiedervi se sia corretto o meno: le ipotesi del teorema di Schwarz sono l'esistenza delle derivate seconde miste e la loro continuità in un punto. La differenziabilità delle derivate prime implica la derivabilità e quindi l'esistenza delle derivate parziali seconde e l'ipotesi della differenziabilità delle derivate seconde ci permette di poter dire che le derivate seconde sono continue quindi le ipotesi del teorema di Schwarz sono soddisfatte e si ha l'uguaglianza delle derivate seconde miste.. è un ragionamento corretto e soprattutto risponde alla mia domanda oppure no?)
La dimostrazione prosegue affermando che poiché le derivate seconde sono differenziabili, applicando il teorema di Schwarz alle derivate prime si ha: $f_{xyx}=f_{x xy}$, $f_{y x y}=f_{yyx}$.
Questo passaggio non mi è molto chiaro, perché la differenziabilità delle derivate seconde ci permette di dire che le ipotesi del teorema di Schwarz sono soddisfatte e di avere quest'uguaglianza?
Alla fine otteniamo che $f_{xyx}=f_{yx x}=f_{f x xy}$, $f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}$
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
A mio parere, non dovrebbe essere sufficiente che le derivate parziali seconde della funzione $f$ siano differenziabili. Piuttosto, dovrebbero essere almeno di classe $C^1$. Sotto questa ipotesi più stringente, poiché la funzione $f$ sarebbe di classe $C^3$:
a pagina 94 della risorsa sottostante: http://www.dma.unifi.it/~modica/2005-06 ... odiffI.pdf
a pagina 94 della risorsa sottostante: http://www.dma.unifi.it/~modica/2005-06 ... odiffI.pdf
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