Connessione per archi & co
Stavo studiando il teorema dei valori intermedi su campi scalari e ho notato che il mio libro usa l’ipotesi di connessione che a mio avviso è troppo forte per dimostrare il teorema e si può alleggerire un pochino, quindi l’ho messa così.
sia $(A,V)$ uno spazio euclideo affine e sia $XsubseteqA$ un sottoinsieme e $f:X->RR$ una funzione continua e siano $x,y inX$.
Se $X$ è connesso per archi allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(x)$ e $f(y)$
Supponiamo che $f(x)
Poiché $fcircphi$ è composizione di funzioni continue allora è continua sul compatto $[0,1]$ di $RR$
Pertanto $fcircphi$ assume massimo e minimo assoluto e tutti i valori compresi.
$(fcircphi)[0,1]=[min_(t in[0,1])f(phi(t)),max_(t in[0,1])f(phi(t))]:=[m,M]$
Chiaramente $[f(x),f(y)]subseteq[m,M]$
In particolare se $X$ è compatto allora possiamo assumere $x,y$ rispettivamente punti di minimo e massimo.
Avendo che $f$ assume tutti i punti tra il massimo assoluto e minimo assoluto.
Anche se questa può essere ulteriormente allegerita supponendo la semplice esistenza di punti di Massimo e minimo.
sia $(A,V)$ uno spazio euclideo affine e sia $XsubseteqA$ un sottoinsieme e $f:X->RR$ una funzione continua e siano $x,y inX$.
Se $X$ è connesso per archi allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(x)$ e $f(y)$
Supponiamo che $f(x)
Poiché $fcircphi$ è composizione di funzioni continue allora è continua sul compatto $[0,1]$ di $RR$
Pertanto $fcircphi$ assume massimo e minimo assoluto e tutti i valori compresi.
$(fcircphi)[0,1]=[min_(t in[0,1])f(phi(t)),max_(t in[0,1])f(phi(t))]:=[m,M]$
Chiaramente $[f(x),f(y)]subseteq[m,M]$
In particolare se $X$ è compatto allora possiamo assumere $x,y$ rispettivamente punti di minimo e massimo.
Avendo che $f$ assume tutti i punti tra il massimo assoluto e minimo assoluto.
Anche se questa può essere ulteriormente allegerita supponendo la semplice esistenza di punti di Massimo e minimo.
Risposte
Ciao, non ho capito perché ti serva uno spazio affine, non ti basta uno spazio topologico $X$ connesso per archi?
Non mi è ben chiaro nemmeno dove sta l'alleggerimento della dimostrazione del tuo libro e le ultime 3 righe mi sono un po' oscure..
La dimostrazione che hai fatto comunque mi sembra corretta!
Non mi è ben chiaro nemmeno dove sta l'alleggerimento della dimostrazione del tuo libro e le ultime 3 righe mi sono un po' oscure..
La dimostrazione che hai fatto comunque mi sembra corretta!
Ti basta che $X$ sia uno spazio connesso: $f(\gamma_{x,y})$ è connesso, quindi è un intervallo; non c'è motivo che $f$ raggiunga il suo minimo/massimo negli estremi, ma al netto di questo è chiaro che ora per il teorema dei valori intermedi sufficientemente generalizzato $f$ assume tutti i valori in questo intervallo.
@bremen
Mi interessava al momento questa casistica, però si hai ragione. La dimostrazione con $(A,T)$ topologico la farei pari pari uguale a questo.
Nelle ultime tre righe intendo la seguente cosa:
La compattezza la uso solo per l’esistenza dei massimi e dei minimi grazie al teorema di weierstrass, non per altro.
Nella dimostrazione uso potentemente solo la continuità e l'ipotesi di connessione per archi quindi supponendo a priori che punti di Massimo e minimo esistano, questo è sufficiente per concludere che la funzione assuma tutti i valori compresi tra il massimo e minimo.
Quindi intendo che l’ipotesi di compattezza è troppo forte nel dimostrare che se esistano punti di Massimo e minimo allora $f$ assuma tutti i valori compresi, ciò che chiaramente accade quando il dominio è un compatto.
Mi interessava al momento questa casistica, però si hai ragione. La dimostrazione con $(A,T)$ topologico la farei pari pari uguale a questo.
Nelle ultime tre righe intendo la seguente cosa:
La compattezza la uso solo per l’esistenza dei massimi e dei minimi grazie al teorema di weierstrass, non per altro.
Nella dimostrazione uso potentemente solo la continuità e l'ipotesi di connessione per archi quindi supponendo a priori che punti di Massimo e minimo esistano, questo è sufficiente per concludere che la funzione assuma tutti i valori compresi tra il massimo e minimo.
Quindi intendo che l’ipotesi di compattezza è troppo forte nel dimostrare che se esistano punti di Massimo e minimo allora $f$ assuma tutti i valori compresi, ciò che chiaramente accade quando il dominio è un compatto.
@killing
Infatti l’ho messa dopo per sport
Considera che sto cercando di avvicinarmi alla topologia in questo modo prima di iniziare a studiarla soltanto in modo astratto quindi vado a tentoni costruendo mattoncini.
Infatti l’ho messa dopo per sport
Considera che sto cercando di avvicinarmi alla topologia in questo modo prima di iniziare a studiarla soltanto in modo astratto quindi vado a tentoni costruendo mattoncini.
Salvati su i-books e li andrò facendo 
Una cosa soltanto: in quali casi la connessione per archi e la connessione coincidono?
So che connesso per archi => connesso è sempre vera(devo dimostrarlo)
Ma sotto quali ipotesi connesso => connesso per archi ?
Intuitivamente mi viene da pensare che debbano essere quantomeno equipotenti ad $RR$
Una cosa soltanto: in quali casi la connessione per archi e la connessione coincidono?
So che connesso per archi => connesso è sempre vera(devo dimostrarlo)
Ma sotto quali ipotesi connesso => connesso per archi ?
Intuitivamente mi viene da pensare che debbano essere quantomeno equipotenti ad $RR$
Io so che almeno gli aperti connessi di $RR^n$ sono connessi per archi. Più in generale non saprei, sono curioso e aspetto la riposta di Killing!
Comunque, riflettevo, credo che la tua dimostrazione con $X$ solo connesso si possa fare sfruttando il teorema di esistenza degli zeri...
Comunque, riflettevo, credo che la tua dimostrazione con $X$ solo connesso si possa fare sfruttando il teorema di esistenza degli zeri...
Sinceramente non ho capito il senso di quel che hai fatto.
La proposizione del tuo libro considera uno spazio $X$ che è connesso(se ho capito bene), mentre la tua uno spazio connesso per archi.
Quella del tuo libro implica la tua, infatti uno spazio connesso per archi in particolare è connesso, quindi è più generale.
La proposizione del tuo libro considera uno spazio $X$ che è connesso(se ho capito bene), mentre la tua uno spazio connesso per archi.
Quella del tuo libro implica la tua, infatti uno spazio connesso per archi in particolare è connesso, quindi è più generale.
@bremen
Io sto facendo al contrario: valori intermedi=>esistenza degli zeri
Alla fine per dimostrare l’esistenza degli zeri fai praticamente la stessa cosa. Hai un dominio connesso per archi in cui per $x,y inA$ si ottiene $f(x)<0
Essendo che $f(phi(0))=f(x)<0
Dal fatto che $phi(t)inA$ segue che esiste $z inA:phi(t)=z$ e si conclude
Io sto facendo al contrario: valori intermedi=>esistenza degli zeri
Alla fine per dimostrare l’esistenza degli zeri fai praticamente la stessa cosa. Hai un dominio connesso per archi in cui per $x,y inA$ si ottiene $f(x)<0
Essendo che $f(phi(0))=f(x)<0
Dal fatto che $phi(t)inA$ segue che esiste $z inA:phi(t)=z$ e si conclude
@ernesto
Volevo trovare una ipotesi più debole della connessione, l’ho scritto.
Volevo trovare una ipotesi più debole della connessione, l’ho scritto.
Ah scusa allora, ho fatto confusione io con i termini debole/forte
O magari li ho scambiati io, l’importante è che ci siamo capiti
"killing_buddha":
Fai tutti questi esercizi. https://www.dropbox.com/s/c3p42svr3aiba ... i.pdf?dl=0
Vogliamo anche quelli di De Marco e una bottiglia di Agente Arancio per brindare
Ma siete impazziti tutti e due
Sempre su questo libro, che tra poco butto, fa la stessa dimostrazione dei valori intermedi però con estremo superiore e inferiore.
C’è una cosa che mi ‘perplime’: comincia dicendo che preso $l in(i n f, s u p)$ esistono $x,y inA:f(x)
Mi chiedo una cosa, date le proprietà dell’estremo superiore nei reali, all’insieme $f(A)subseteqRR$ non basta applicare la
Definizione degli estremi per mostrarne l’esistenza
?
Anche perché se per assurdo fosse $f(x)leql,forallx inA$ si avrebbe che $l$ sarebbe un maggiorante di $f(A)$ e si otterrebbe subito l’assurdo.
In conclusione:
• Tiro ‘sto libro
• Ha ragione il libro
Sempre su questo libro, che tra poco butto, fa la stessa dimostrazione dei valori intermedi però con estremo superiore e inferiore.
C’è una cosa che mi ‘perplime’: comincia dicendo che preso $l in(i n f, s u p)$ esistono $x,y inA:f(x)
Mi chiedo una cosa, date le proprietà dell’estremo superiore nei reali, all’insieme $f(A)subseteqRR$ non basta applicare la
Definizione degli estremi per mostrarne l’esistenza
?Anche perché se per assurdo fosse $f(x)leql,forallx inA$ si avrebbe che $l$ sarebbe un maggiorante di $f(A)$ e si otterrebbe subito l’assurdo.
In conclusione:
• Tiro ‘sto libro
• Ha ragione il libro
"anto_zoolander":
O magari li ho scambiati io, l’importante è che ci siamo capiti
Ahhhh secondo me si! E infatti non capivo una cippa. Il tuo libro fa la dimostrazione con l'ipotesi di connessione che è un'ipotesi più debole di quella di connessione per archi! Quello che hai dimostrato tu è un caso particolare della dim del tuo libro, per questo non capivo come avessi generalizzato!
E comunque quello che dicevo prima sul teorema di esistenza degli zeri, per quanto vero, è una complicazione. E' meglio fare come dice killing: $A$ è connesso, $f$ è continua quindi $f(A)$ è connesso, ma allora $f(A)$ è un intervallo e inoltre $f(x), f(y) \in f(A)$. Ma quindi $[f(x), f(y)] \subset A$ (se $f(x) \le f(y)$), fine.
"anto_zoolander":
Mi chiedo una cosa, date le proprietà dell’estremo superiore nei reali, all’insieme $ f(A)subseteqRR $ non basta applicare la
Definizione degli estremi per mostrarne l’esistenza
Secondo me si, ma non sono molto autorevole.
Prova a mettere esattamente cosa dice!
Perché dici che si complicano? Se assumiamo per vero il teorema di esistenza degli zeri, per $l in(f(x),f(y))$ basta applicare l’esisyenza degli zeri alla funzione $g(t)=f(t)-l$ e vedere cosa succede in $x,y$
Quindi si conclude sempre facilmente.
Quindi si conclude sempre facilmente.
Si certo, ma a mio parere la dimostrazione che ti ho appena messo è (abbastanza) diretta e boh, a me piace di più!
"anto_zoolander":
Una cosa soltanto: in quali casi la connessione per archi e la connessione coincidono?
So che connesso per archi => connesso è sempre vera(devo dimostrarlo)
Ma sotto quali ipotesi connesso => connesso per archi ?
Per quanto riguarda questa questione la proprietà giusta che ti permette di invertire l'implicazione è che ogni punto abbia un intorno connesso per archi, più precisamente si ha il seguente
TeoremaSia $(X,\tau)$ uno spazio topologico, allora $X$ è connesso per archi $<=>$ è connesso e $AAx\inXEEU$ aperto tale che $x\inU$ e $U$ connesso per archi.
Intuitivamente mi viene da pensare che debbano essere quantomeno equipotenti ad $RR$
Questo non c'entra nulla.
Ah per questo vale negli spazi metrici con topologia euclidea perché le pallenaperte sono tutte connesse per archi
perché le pallenaperte sono tutte connesse per archi
No, per questo vale per gli aperti di $RR^n$.
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