Connessione per archi & co

[anto_zoolander]

Stavo studiando il teorema dei valori intermedi su campi scalari e ho notato che il mio libro usa l’ipotesi di connessione che a mio avviso è troppo forte per dimostrare il teorema e si può alleggerire un pochino, quindi l’ho messa così.

sia $(A,V)$ uno spazio euclideo affine e sia $XsubseteqA$ un sottoinsieme e $f:X->RR$ una funzione continua e siano $x,y inX$.
Se $X$ è connesso per archi allora $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(x)$ e $f(y)$

Supponiamo che $f(x) Poiché $X$ è connesso per archi esiste un arco $phi:[0,1]->A$ tale che $phi(0)=x,phi(1)=y$ quindi la funzione $fcircphi:[0,1]->A->RR$ è una funzione di una variabile che calcola $f$ lungo i punti dell’arco.

Poiché $fcircphi$ è composizione di funzioni continue allora è continua sul compatto $[0,1]$ di $RR$
Pertanto $fcircphi$ assume massimo e minimo assoluto e tutti i valori compresi.

$(fcircphi)[0,1]=[min_(t in[0,1])f(phi(t)),max_(t in[0,1])f(phi(t))]:=[m,M]$

Chiaramente $[f(x),f(y)]subseteq[m,M]$

In particolare se $X$ è compatto allora possiamo assumere $x,y$ rispettivamente punti di minimo e massimo.
Avendo che $f$ assume tutti i punti tra il massimo assoluto e minimo assoluto.
Anche se questa può essere ulteriormente allegerita supponendo la semplice esistenza di punti di Massimo e minimo.

[anto_zoolander]

Niente sbagliai, volevo dire per gli spazi euclidei.