Connessione lineare semplice
Salve a tutti,
ho un esercizio il quale dice che: dato il campo $vec v(x,y)=(y+(2x)/(y+x^2)) vec i+(x+1/(y+x^2)) vec j$ dimostrare che esso è gradiente. Per ora il metodo che il professore ci ha spiegato è quello di utilizzare il lemma di Poincaré per il quale se il campo è irrotazionale, di classe $C^1$ e definito in un insieme semplicemente connesso esso è gradiente. Il mio problrma sta nel dimostrare l'ultima condizione in quanto in questo caso l'insieme di definizione è tutto $R^2$ senza la parabola di equazione $y=-x^2$ che non è un insieme connesso ma è formatoda due componenti connesse (la parte al di sotto e quella al di sopra della parabola). Come posso fare per dimostrare che queste due componenti sono a connessione lineare semplice? e se lo sono anche $A$ sarà a connessione lineare semplice? (con $A$ intendo l'intero insieme di definizione del campo)
ho un esercizio il quale dice che: dato il campo $vec v(x,y)=(y+(2x)/(y+x^2)) vec i+(x+1/(y+x^2)) vec j$ dimostrare che esso è gradiente. Per ora il metodo che il professore ci ha spiegato è quello di utilizzare il lemma di Poincaré per il quale se il campo è irrotazionale, di classe $C^1$ e definito in un insieme semplicemente connesso esso è gradiente. Il mio problrma sta nel dimostrare l'ultima condizione in quanto in questo caso l'insieme di definizione è tutto $R^2$ senza la parabola di equazione $y=-x^2$ che non è un insieme connesso ma è formatoda due componenti connesse (la parte al di sotto e quella al di sopra della parabola). Come posso fare per dimostrare che queste due componenti sono a connessione lineare semplice? e se lo sono anche $A$ sarà a connessione lineare semplice? (con $A$ intendo l'intero insieme di definizione del campo)
Risposte
verificare-che-un-sottoinsieme-di-r-2-e-convesso-t96248.html
come-dimostrare-che-un-campo-vettoriale-e-di-classe-c-1-t96250.html#p640531
Stai chiedendo aiuto "a pezzi". Non è una buona pratica questa: se stai affrontando un unico esercizio è meglio dichiarare subito cosa stai cercando di fare e poi chiedere aiuto in un unico topic. Così uno sa dove stai andando a parare e cerca di rispondere di conseguenza.
Comunque è un problema facile. E' chiaro che se un campo è conservativo in varie regioni disconnesse allora è conservativo nell'unione di tali regioni.
come-dimostrare-che-un-campo-vettoriale-e-di-classe-c-1-t96250.html#p640531
Stai chiedendo aiuto "a pezzi". Non è una buona pratica questa: se stai affrontando un unico esercizio è meglio dichiarare subito cosa stai cercando di fare e poi chiedere aiuto in un unico topic. Così uno sa dove stai andando a parare e cerca di rispondere di conseguenza.
Comunque è un problema facile. E' chiaro che se un campo è conservativo in varie regioni disconnesse allora è conservativo nell'unione di tali regioni.
"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/verificare-che-un-sottoinsieme-di-r-2-e-convesso-t96248.html
come-dimostrare-che-un-campo-vettoriale-e-di-classe-c-1-t96250.html#p640531
Stai chiedendo aiuto "a pezzi". Non è una buona pratica questa: se stai affrontando un unico esercizio è meglio dichiarare subito cosa stai cercando di fare e poi chiedere aiuto in un unico topic. Così uno sa dove stai andando a parare e cerca di rispondere di conseguenza.
Ho diviso in più topic perchè avendo inizialmente vari dubbi non sapevo come riunire il tutto senza rendere le cose confuse. Poi grazie al tuo aiuto con cui ho chiarito come vedere se un campo è $C^1$ e come vedere se è il suo insieme di definizione è connesso mi è rimasto solo il dubbio su come verificare che l'insieme di definizione fosse semplicemente connesso per cui ho aperto quest' ultimo topic. Chiedo scusa se così facendo ho invece confuso ancora di più le cose.
comunque come ultima cosa, se puoi, mi chiariresti un po' meglio come vedere se un insieme è semplicemente connesso? Cercando in giro ho trovato questo topic viewtopic.php?t=37926&p=285091 da cui ho capito che:
- un metodo per vedere se un insieme è connesso è quello di prendere due punti qualunque dell'insieme considerato e vedere se esiste una curva continua che parta da uno e arrivi nell'altro
- per vedere se un insieme è semplicemente connesso l'insieme che sto considerando deve "essere formato da un pezzo solo e senza buchi"
- Se un insieme non è connesso non può essere semplicemente connesso.
Se ciò è vero trovo che l'insieme di definizione $A$ del campo dell'esercizio che ho scritto in questo topic non è ne connesso ne semplicemente connesso mentre lo sono le sue componenti. Ma allora posso ancora dire che vale il lemma di Poincaré?
"phyro93":ok, ma vale solo per sottoinsiemi aperti di \(\mathbb{R}^n\). Se inizi a considerare sottoinsiemi non aperti le cose si complicano. Però ai fini dello studio di campi vettoriali e forme differenziali ti serve considerare solo aperti.
- un metodo per vedere se un insieme è connesso è quello di prendere due punti qualunque dell'insieme considerato e vedere se esiste una curva continua che parta da uno e arrivi nell'altro
- per vedere se un insieme è semplicemente connesso l'insieme che sto considerando deve "essere formato da un pezzo solo e senza buchi"ok
- Se un insieme non è connesso non può essere semplicemente connesso.Vedi sopra. Quasi sempre è così ma c'è chi adotta definizioni leggermente diverse. Se non sai quale definizione adotta il tuo docente allora chiediglielo e se questo non è possibile allora assumi pure tu che un insieme non connesso non può essere semplicemente connesso.
Se ciò è vero trovo che l'insieme di definizione $A$ del campo dell'esercizio che ho scritto in questo topic non è ne connesso ne semplicemente connesso mentre lo sono le sue componenti. Ma allora posso ancora dire che vale il lemma di Poincaré?
Abbiamo già detto come si ragiona, ora mastica un po' tu questo suggerimento:
E' chiaro che se un campo è conservativo in varie regioni disconnesse allora è conservativo nell'unione di tali regioni.
PS: Per "regioni disconnesse" intendo "un numero finito di sottoinsiemi aperti e disgiunti di \(\mathbb{R}^n\)".
Grazie mille per il tuo aiuto mi è stato molto utile 
. Solo che non capisco il tuo suggerimento ovvero
in quanto il professore ancora non ci ha dato la definizione precisa di campo conservativo (infatti è da poco che abbiamo iniziato i campi e ancora dobbiamo concludere l'argomento)
. Solo che non capisco il tuo suggerimento ovvero E' chiaro che se un campo è conservativo in varie regioni disconnesse allora è conservativo nell'unione di tali regioni.
in quanto il professore ancora non ci ha dato la definizione precisa di campo conservativo (infatti è da poco che abbiamo iniziato i campi e ancora dobbiamo concludere l'argomento)
Vabbè dai sono sinonimi: "conservativo" è un campo che è gradiente di qualche potenziale. Tu li hai chiamati "campi gradiente", è la stessa cosa.
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