Connessione e numerabilità

[robbstark1]

Sia $X$ un sottoinsieme al più numerabile di uno spazio metrico completo $(S,d)$; dimostrare che $X$ è connesso se e solo se $X$ è un singoletto.

1) Un singoletto $X={x}$ è connesso.
Infatti presi $A$ e $B$ non vuoti, tali che $AuuuB=X$, si ha che $A=B=X$.
$AnnnB$ non vuoto, quindi $X$ è connesso.

2) Un insieme finito di punti non è connesso. Infatti preso l'insieme di tutte le distanze ${d(x_i, y_j): i,j=1,...,n; i!=j}$ ammette minimo $2r>0$.
Posso considerare intorno ad ogni punto un intorno sferico aperto di raggio $r$, questi intersecati con $X$ sono degli aperti nella metrica indotta. Li posso raggruppare in 2 insiemi disgiunti e non vuoti, che sono aperti perchè unione di aperti e la loro unione fa $X$. Quindi $X$ non è connesso.

Nel caso di insieme numerabile però non è detto che ci sia il minimo delle distanze, anzi può succedere che tutti i punti siano d'accumulazione, come ad esempio in $QQ^n$.
Come posso procedere? Noto tra le ipotesi che c'è la completezza dello spazio, che io finora non ho usato.

[dissonance]

Mi sa infatti che l'ipotesi di completezza è ridondante. Prova a seguire questa traccia: sia $E={x_j\ :\ j=0, 1, 2, ...}$ il sottoinsieme numerabile dello spazio metrico $X$ in questione. Fissiamo in $E$ un punto privilegiato, diciamo $x_0$. Per ogni $delta >0$, consideriamo

$A_delta={x_j \in E\ :\ d(x_0, x_j) < delta}, B_delta={x_j \in E\ :\ d(x_0, x_j)>delta}$.

Se per assurdo $E$ fosse connesso, allora ...

[robbstark1]

Ok, grazie.

[dissonance]

Vabbé, ma è chiaro come risolvere l'esercizio? Se non lo è, o se credi che questa idea non funzioni, fallo pure presente. Altrimenti mi farebbe piacere che tu scrivessi qui lo svolgimento, così possiamo commentarlo.

[robbstark1]

Non l'avevo scritto perchè dopo il suggerimento la soluzione mi è parsa immediata.

Se $E$ fosse connesso, allora $AA delta >0$ si avrebbe che o uno tra $A_(delta)$ e $B_(delta)$ è vuoto, oppure che la loro unione non coincide con $X$, ovvero $EE bar x:d(bar x, x_0)=delta$.
$A_(delta)$ non può essere vuoto, perchè contiene almeno $x_0$.
Per $0

Cita

Segnala

[dissonance]

Io dicevo di scrivere la soluzione perché non ero sicuro che fosse corretta.

E infatti non va bene.

$B_delta$ potrebbe essere vuoto, anzi, è una cosa che può succedere tranquillissimamente: prendi $E={1, 1/2, 1/3 ldots}$. Con il discorso che fai tu si vede che esiste un $delta$ per cui $B_delta$ non è vuoto, ma questo è ben diverso da dire che per ogni $delta > 0$ $B_delta$ non è vuoto.

Purtroppo, per concludere ci servirebbe proprio questo, in modo tale che per ogni $delta$ esista un $bar{x}_delta$ distante da $x_0$ esattamente $delta$. Non so se mi spiego.

[robbstark1]

Io non ho detto che $B_(delta)$ non è mai vuoto. Ho detto che esiste un intervallo di valori per cui non è vuoto.

"robbstark": Per $0

[dissonance]

Hum... si aspetta, mi sa che hai ragione.

Quindi tu dici, correggimi se sbaglio: preso $D="diam" E$, cioè il sup delle distanze tra elementi di $E$, se $E$ fosse connesso troveremmo, facendo quel discorso con $A_delta, B_delta$, una funzione $bar{x}: (0, D/2) \to E$ tale che $d(bar{x}(delta), x_0) = delta$. Quindi questa funzione sarebbe ingettiva, e questa è una contraddizione per questione di cardinalità.

Giusto? Si, mi sa che va bene.

No, andavo coi piedi di piombo perché effettivamente qui non si usa la completezza. Quindi mi aspettavo che ci fosse un errore da qualche parte. Però, pare di no.

[robbstark1]

Sostanzialmente sì. Io non ho usato proprio il "raggio" di $E$, ma l'estremo superiore delle distanze dal punto privilegiato $x_0$. Comunque mi sembra che vada bene in entrambi i modi.