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Salve a tutti, avrei un dubbio da esprimere circa la definizione di "insieme sconnesso in $RR^n$" datami dal mio professore di analisi, ovvero:
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti tali che $E=C_1 U C_2$.
Quello che mi è venuto in mente subito è: un insieme formato dall'unione di due insiemi chiusi disgiunti è sconnesso o no? Da questa definizione sembrerebbe di no...
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti tali che $E=C_1 U C_2$.
Quello che mi è venuto in mente subito è: un insieme formato dall'unione di due insiemi chiusi disgiunti è sconnesso o no? Da questa definizione sembrerebbe di no...
Risposte
E invece sì. Quella che hai citato è la definizione di aperto sconnesso, non di insieme sconnesso in generale.
E se invece dicessi che:
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$? Mi sembra filare per bene anche per i chiusi. Il fatto è che il mio prof ha fatto un po' di confusione con la definizione.
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$? Mi sembra filare per bene anche per i chiusi. Il fatto è che il mio prof ha fatto un po' di confusione con la definizione.
L'ultima definizione va bene, non solo per i chiusi, ma per tutti i sottoinsiemi di $RR^n$.
In realta' la definiione di connessione e':
Uno spazio topologico $T$ si dice sconnesso se $T=A_1\cup A_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti, disgiunti e non vuoti (in $T$).
E' chiaro che se sostituisco aperti con chiusi la definizione e' la stessa-
Quando si parla di un insieme sconnesso $U$ in $RR$ (per esempio) si sottintende che $U$ e' uno spazio topologico sconnesso
rispetto alla topologia indotta.
Uno spazio topologico $T$ si dice sconnesso se $T=A_1\cup A_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti, disgiunti e non vuoti (in $T$).
E' chiaro che se sostituisco aperti con chiusi la definizione e' la stessa-
Quando si parla di un insieme sconnesso $U$ in $RR$ (per esempio) si sottintende che $U$ e' uno spazio topologico sconnesso
rispetto alla topologia indotta.
"ViciousGoblinEnters":
In realta' la definiione di connessione e':
Uno spazio topologico $T$ si dice sconnesso se $T=A_1\cup A_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti, disgiunti e non vuoti (in $T$).
E' chiaro che se sostituisco aperti con chiusi la definizione e' la stessa-
Quando si parla di un insieme sconnesso $U$ in $RR$ (per esempio) si sottintende che $U$ e' uno spazio topologico sconnesso
rispetto alla topologia indotta.
Ecco questa cosa suppongo richieda un corso di geometria più avanzato di quelli che ho frequentato per poter essere compresa, ma me l'aveva accennata qualcuno...
D'accordissimo con V.G.E.
@ Aethelmyth: Nel caso non sapessi cos'è la topologia indotta e cose del genere, si verifica immediatamente che un $E\subRR^n$ è sconnesso secondo la definizione data da VGE se e solo se
Sono due maniere (apparentemente) diverse di dire esattamente la stessa cosa.
@ Aethelmyth: Nel caso non sapessi cos'è la topologia indotta e cose del genere, si verifica immediatamente che un $E\subRR^n$ è sconnesso secondo la definizione data da VGE se e solo se
"Aethelmyth":
Un insieme E⊆ℝn si dice sconnesso se ∃C1,C2⊆ℝn aperti disgiunti tali che E=(E∩C1)U(E∩C2)
Sono due maniere (apparentemente) diverse di dire esattamente la stessa cosa.
"Aethelmyth":
[quote="ViciousGoblinEnters"]In realta' la definiione di connessione e':
Uno spazio topologico $T$ si dice sconnesso se $T=A_1\cup A_2$ con $A_1$ e $A_2$ aperti, disgiunti e non vuoti (in $T$).
E' chiaro che se sostituisco aperti con chiusi la definizione e' la stessa-
Quando si parla di un insieme sconnesso $U$ in $RR$ (per esempio) si sottintende che $U$ e' uno spazio topologico sconnesso
rispetto alla topologia indotta.
Ecco questa cosa suppongo richieda un corso di geometria più avanzato di quelli che ho frequentato per poter essere compresa, ma me l'aveva accennata qualcuno...[/quote]
Allora senza fare il caso generale possiamo dire cosi'
Fissiamo $U$ sottoinsieme di $RR$ - un sottoinsieme $A$ di $U$ si dice aperto relativamente a $U$ se esiste $A_1$ aperto (in $RR$) tale che $A=U\cap A_1$
$U$ si dice sconnesso se $U=A'\cup A''$ con $A'$ e $A''$ non vuoti, disgiunti e aperti relativamente a $U$.
Forse il tuo prof. ha dato questa definizione (in cui la nozione di aperto e' relativa a U$)
Si è possibile, grazie per l'aiuto 
Mi sono accorto di una falla nell'ultima definizione data. Infatti anche se $E$ fosse connesso potrei trovare un $C_1$ aperto che contiene $E$ e un $C_2$ aperto disgiunto da $C_1$ in modo che la definizione sia verificata. Per cui penso bisogna aggiungere qualcosina:
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti, con $E nn C_1 != O != E nn C_2$ (per O intendo l'insieme vuoto... nn so come scriverlo), tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti, con $E nn C_1 != O != E nn C_2$ (per O intendo l'insieme vuoto... nn so come scriverlo), tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$
"Aethelmyth":
Mi sono accorto di una falla nell'ultima definizione data. Infatti anche se $E$ fosse connesso potrei trovare un $C_1$ aperto che contiene $E$ e un $C_2$ aperto disgiunto da $C_1$ in modo che la definizione sia verificata. Per cui penso bisogna aggiungere qualcosina:
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti, con $E nn C_1 != O != E nn C_2$ (per O intendo l'insieme vuoto... nn so come scriverlo), tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$
Infatti se guardi la mia ultima definizione per dire che $E$ e' sconnesso devi trovare $A_1$ e $A_2$ non vuoti e disgiunti tale che $E=A_1\cup A_2$ e $A_1,A_2$ aperti in $E$ - in quanto dici sopra
$A_1=C_1\cap E$ e $A_2=C_2\cap E$
"ViciousGoblin":
[quote="Aethelmyth"]Mi sono accorto di una falla nell'ultima definizione data. Infatti anche se $E$ fosse connesso potrei trovare un $C_1$ aperto che contiene $E$ e un $C_2$ aperto disgiunto da $C_1$ in modo che la definizione sia verificata. Per cui penso bisogna aggiungere qualcosina:
Un insieme $E subseteq RR^n$ si dice sconnesso se $EE C_1, C_2 subseteq RR^n$ aperti disgiunti, con $E nn C_1 != O != E nn C_2$ (per O intendo l'insieme vuoto... nn so come scriverlo), tali che $E=(EnnC_1) U (EnnC_2)$
Infatti se guardi la mia ultima definizione per dire che $E$ e' sconnesso devi trovare $A_1$ e $A_2$ non vuoti e disgiunti tale che $E=A_1\cup A_2$ e $A_1,A_2$ aperti in $E$ - in quanto dici sopra
$A_1=C_1\cap E$ e $A_2=C_2\cap E$[/quote]
Ah ok capito
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