Coniugato di funzione olomorfa

[vipovo]

Domanda lampo: se ho f olomorfa su tutto C e g: C -> C definita come g(z) = coniugato [f( z coniugato)], g è olomorfa su C?
in altre parole, il coniugato di una funzione è la funzione del coniugato?

[Quinzio]

Dato $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, definiamo $g(\bar z)=\bar f (\bar z)=u(x,-y)-iv(x,-y)$.

Se scriviamo le condizioni di Cauchy-Riemann per $f(z)$ abbiamo
${((\partial u)/(\partial x)=(\partial v)/(\partial y)),((\partial v)/(\partial x)=-(\partial u)/(\partial y)):}$

Se sostituiamo $v$ con $-v$ e $y$ con $-y$ otteniamo ancora le stesse condizioni di C-R, quindi direi che la tua ipotesi è giusta, anche $g(\bar z)$ è olomorfa.

[dissonance]

@vipovo: Scrivi bene le formule altrimenti non si capisce niente. Mi *pare* di capire che vuoi sapere se \(\overline{g(\overline{z})}\) è olomorfa quando \(g\) lo è. Giusto? In generale per capire al volo queste cose uno pensa allo sviluppo in serie di Taylor: se
\[g(z)=g(0)+g'(0)z+\ldots\]
allora
\[\overline{g(\overline{z})}=\overline{ g(0)+g'(0)\overline{z}+\ldots}=\overline{g(0)}+\overline{g'(0)}z+\ldots,\]
che è ancora uno sviluppo in serie di Taylor e quindi definisce una funzione olomorfa. Lo stesso discorso vale se uno si mette in un intorno di un punto \(z_0\) diverso dall'origine.

Comunque, se uno vuole andare coi piedi di piombo, può sempre usare le equazioni di Cauchy-Riemann come ha fatto Quinzio. Così si va sul sicuro.

[vipovo]

grazie infinite! gentilissimi