Confusione sul modulo quadro di una funzione

[Giud1]

Ciao, sto cercando di capire come mai il modulo quadro di una funzione complessa si definisce così

$|\phi|^2$ = $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ = $\int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx$

ma poi di fatto lo si fa coincidere con una funzione, ottenuta dal solo prodotto, senza l'integrazione:

$|\phi|^2$ = $\bar\phi(x)\phi(x)$

Tant'è che se $|\phi|^2$ è una funzione densità di probabilità, per conoscere la probabilità $P$ devo integrarla tra due estremi e fare

$P(a,b)$ = $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$

con $|\phi(x)|^2$ che però ora è solo $\bar\phi(x)\phi(x)$.

cosa mi sfugge?
grazie..

[cooper1]

uhm mi sembrano argomenti di meccanica quantistica ma non mi sembra che quello che stai dicendo sia vero. hai un esempio concreto magari?

[javicemarpe]

The problem is that the integral formula you wrote is not the square of the modulus but the square of the $L^2$-norm of the function $\phi$.

[Giud1]

"cooper":uhm mi sembrano argomenti di meccanica quantistica ma non mi sembra che quello che stai dicendo sia vero. hai un esempio concreto magari?

Sì! Infatti lo sono, ho fatto la stessa domanda con più dettagli ma non ho ricevuto risposta, quindi l'ho riproposta qui in versione contratta! Ecco quella con il caso pratico: viewtopic.php?f=19&t=181875

[Giud1]

"javicemarpe":The problem is that the integral formula you wrote is not the square of the modulus but the square of the $L^2$-norm of the function $\phi$.

Ok...so the "square of the modulus" is $\bar\phi(x)\phi(x)$ while the square of the $L^2$-norm is $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ ...? but why are they both indicated as $|\phi|^2$ if they are different objects?

[cooper1]

dato uno stato $|A>$ hai che:
$= int_(RR) | psi_A(vecx) |^2 dvecx =1$ e questa è la normalizzazione che serve a garantire il parallelismo con la probabilità (serve appunto per affermare che il modulo quadro è una densità di probabilità).
supponendo ora di restringerci ad un solo gdl, abbiamo
$ = int_(RR)psi_(A)^(star) chi_([a,b],x')psi_A dx=int_(RR) chi_([a,b],x')|psi_A|^2 dx= int_(a)^(b)|psi_A|^2 dx ~= |psi_A (x')|^2 (b-a)$
dove $chi$ è la funzione caratteristica dell'intervallo $[a,b]$
poichè il valore medio della f. caratteristica rappresenta la probabilità di trovare una particella nell'intervallo si interpreta il modulo quadro come densità di probabilità relativa alla posizione della particella, mentre $|psi_A|^2dx$ è la probabilità di trovare la particella tra $x$ e $x+dx$ (cioè nell'intervallo)

[Giud1]

"cooper":dato uno stato $|A>$ hai che:
$= int_(RR) | psi_A(vecx) |^2 dvecx =1$ e questa è la normalizzazione che serve a garantire il parallelismo con la probabilità (serve appunto per affermare che il modulo quadro è una densità di probabilità).
supponendo ora di restringerci ad un solo gdl, abbiamo
$ = int_(RR)psi_(A)^(star) chi_([a,b],x')psi_A dx=int_(RR) chi_([a,b],x')|psi_A|^2 dx= int_(a)^(b)|psi_A|^2 dx ~= |psi_A (x')|^2 (b-a)$
dove $chi$ è la funzione caratteristica dell'intervallo $[a,b]$
poichè il valore medio della f. caratteristica rappresenta la probabilità di trovare una particella nell'intervallo si interpreta il modulo quadro come densità di probabilità relativa alla posizione della particella, mentre $|psi_A|^2dx$ è la probabilità di trovare la particella tra $x$ e $x+dx$ (cioè nell'intervallo)

Ti ringrazio..ma purtroppo non riesco a trovare, nella tua risposta, il chiarimento del mio dubbio. Mi aiuti a vederlo?

[cooper1]

prima riga praticamente. quello che tu chiami $|phi|^2$ non è un modulo ma è la norma dello stato. o come ti ha detto anche l'altro utente la norma in $$ \ell_2 $$.
secondo me il tuo testo, impropriamente, ha usato questa nomenclatura: $ = || \psi_A || _\ell_2 := |\phi|^2 $

[Giud1]

Sto realizzando tragicamente di non avere chiara la differenza tra modulo di una funzione e norma di una funzione! Per i vettorini della geometria coincidono, ma evidentemente per le funzioni non è così...la norma dipende da come è stato definito il prodotto, giusto? E il modulo?

[cooper1]

ecco

"Giud":a norma dipende da come è stato definito il prodotto, giusto?

certo. fissato un prodotto scalare definito positivo la norma al quadrato è scrivibile come il prodotto scalare di un vettore per sè stesso. negli spazi di hilbert questa norma soddisfa poi la regola del parallelogramma.
il modulo è il classico modulo dell'analisi complessa.

[javicemarpe]

"Giud":[quote="javicemarpe"]The problem is that the integral formula you wrote is not the square of the modulus but the square of the $L^2$-norm of the function $\phi$.

Ok...so the "square of the modulus" is $\bar\phi(x)\phi(x)$ while the square of the $L^2$-norm is $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ ...? but why are they both indicated as $|\phi|^2$ if they are different objects?[/quote]
Actually, I've never seen that notation for the $L^2$-norm. It is usually denoted by $||\phi||_{L^2}$. Sometimes people doesn't choose the most convenient notation.

[Giud1]

"cooper":ecco
[quote="Giud"]a norma dipende da come è stato definito il prodotto, giusto?

certo. fissato un prodotto scalare definito positivo la norma al quadrato è scrivibile come il prodotto scalare di un vettore per sè stesso. negli spazi di hilbert questa norma soddisfa poi la regola del parallelogramma.
il modulo è il classico modulo dell'analisi complessa.[/quote]

Grazie mille!

[Giud1]

"javicemarpe":[quote="Giud"][quote="javicemarpe"]The problem is that the integral formula you wrote is not the square of the modulus but the square of the $L^2$-norm of the function $\phi$.

Ok...so the "square of the modulus" is $\bar\phi(x)\phi(x)$ while the square of the $L^2$-norm is $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ ...? but why are they both indicated as $|\phi|^2$ if they are different objects?[/quote]
Actually, I've never seen that notation for the $L^2$-norm. It is usually denoted by $||\phi||_{L^2}$. Sometimes people doesn't choose the most convenient notation.[/quote]

Yes! Please take a look at this: http://mathworld.wolfram.com/L2-Norm.html

[javicemarpe]

"Giud":[quote="javicemarpe"]
Actually, I've never seen that notation for the $L^2$-norm. It is usually denoted by $||\phi||_{L^2}$. Sometimes people doesn't choose the most convenient notation.

Yes! Please take a look at this: http://mathworld.wolfram.com/L2-Norm.html[/quote]
It's just a wrong choice of notation, because it produces this confusion. I would write (as I said before) $||\phi||_{L^2}$ for the $L^2$-norm. This is the most common notation for this norm and it doesn't lead you to any confusion.

On the other hand, in my opinion, this notation can be justified:

When you read $|\phi|$ (without talking about any point $x$) it should be understood that it is an object which measures in some sense the "size" of the function $\phi$ as a function, namely the $L^2$-norm (there exist more possible ways to measure "how big" $\phi$ is, for instance, any $L^p$-norm).

If you read $|\phi(x)|$, then it should be understood that what we are measuring is the "size" of the complex number $\phi(x)$, and a canonical way to do this is by using its complex modulus ($|z|=z\overline{z}$).

[Giud1]

"javicemarpe":[quote="Giud"][quote="javicemarpe"]
Actually, I've never seen that notation for the $L^2$-norm. It is usually denoted by $||\phi||_{L^2}$. Sometimes people doesn't choose the most convenient notation.

Yes! Please take a look at this: http://mathworld.wolfram.com/L2-Norm.html[/quote]
It's just a wrong choice of notation, because it produces this confusion. I would write (as I said before) $||\phi||_{L^2}$ for the $L^2$-norm. This is the most common notation for this norm and it doesn't lead you to any confusion.

On the other hand, in my opinion, this notation can be justified:

When you read $|\phi|$ (without talking about any point $x$) it should be understood that it is an object which measures in some sense the "size" of the function $\phi$ as a function, namely the $L^2$-norm (there exist more possible ways to measure "how big" $\phi$ is, for instance, any $L^p$-norm).

If you read $|\phi(x)|$, then it should be understood that what we are measuring is the "size" of the complex number $\phi(x)$, and a canonical way to do this is by using its complex modulus ($|z|=z\overline{z}$).[/quote]

This really helps! Thanks!!
Thank you both