Confusione sugli Integrali

[Madara23]

Salve , vorrei chiarire alcuni dubbi sull'integrabilità di una funzione. Da un teorema si dice che una funzione è integrabile se questa funzione , preso un intervallo [a,b], è continua (o generalmente continua). Dalle definizioni date dal professore risulta che una funzione è generalmente continua se questa è limitata ed ha un numero finito di punti di discontinuità.

Detto questo , ho provato a fare alcuni esercizi rilasciati dal professore ed ho notato alcune incongruenze :

1)


In questo esercizio il professore afferma che:


Ma arrivati al punto in cui sappiamo che f non è limitata non dovremmo fermarci anziché continuare l'esercizio?

[Mephlip]

In questo caso si intende l'integrabilità in senso improprio; riguardo ciò, esistono funzioni illimitate ma che sono integrabili in senso improprio. Ad esempio, $f(x)=1/\sqrt{x}$ nell'intervallo $[0,1]$.

[Madara23]

"Mephlip":In questo caso si intende l'integrabilità in senso improprio; riguardo ciò, esistono funzioni illimitate ma che sono integrabili in senso improprio. Ad esempio, $f(x)=1/\sqrt{x}$ nell'intervallo $[0,1]$.

Ma allora dovrei comunque risolvere l'esercizio e dire che l'integrale non esiste solo nel caso in cui questo presenti un intervallo in cui è +∞ e uno in cui è -∞ ?

[Mephlip]

No, concludi che non è integrabile in senso improprio quando il valore dell'integrale è $+\infty$ o $-\infty$ (ad esempio, nel caso dell'esercizio da te proposto: hai che l'integrale in $(0,1]$ diverge a $-\infty$ e l'integrale in $[1,+\infty)$ converge, quindi la somma dei due integrali diverge a $-\infty$. Tale somma è l'integrale di partenza).

Il caso $+\infty-\infty$ è molto delicato nel contesto dell'integrazione in senso improprio, generalmente si considerano indeterminati integrali di quella forma. In pratica, si dice che una funzione $g$ è integrabile in senso improprio in un intervallo $I$ (non necessariamente limitato) se $\int_I g(x)\text{d}x$ converge.

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