Confusione su Osservazioni circa il criterio di Leibniz
Buonasera!
Ho studiato enunciato e dimostrazione del criterio di Leibniz.
A fine dimostrazione, il mio professore ha riportato le seguenti osservazioni:
$l=$sup$ s_(2n)$
$l=$inf$ s_(2n+1)$
e questo è chiaro visto che la successione delle somme parziali pari è crescente e quella delle somme parziali dispari è decrescente.
Poi si procede così:
$S_(2n)<=l<=S_(2n+1) rArr 0<=l-S_(2n)<=S_(2n+1)-S_(2n)=a_(2n+1)$
e fin qui tutto liscio, poi si passa a:
$S_(2n)<=l<=S_(2n-1) rArr 0<=S_(2n-1)-l<=S_(2n-1)-S_(2n)=a_(2n)$ #passaggio che non riesco a spiegarmi
e poi si conclude che $|l-s_n|<=a_(n+1)$
Onestamente non riesco a capire le "intenzioni" di questa osservazione!
Cercasi indizi
Ho studiato enunciato e dimostrazione del criterio di Leibniz.
A fine dimostrazione, il mio professore ha riportato le seguenti osservazioni:
$l=$sup$ s_(2n)$
$l=$inf$ s_(2n+1)$
e questo è chiaro visto che la successione delle somme parziali pari è crescente e quella delle somme parziali dispari è decrescente.
Poi si procede così:
$S_(2n)<=l<=S_(2n+1) rArr 0<=l-S_(2n)<=S_(2n+1)-S_(2n)=a_(2n+1)$
e fin qui tutto liscio, poi si passa a:
$S_(2n)<=l<=S_(2n-1) rArr 0<=S_(2n-1)-l<=S_(2n-1)-S_(2n)=a_(2n)$ #passaggio che non riesco a spiegarmi
e poi si conclude che $|l-s_n|<=a_(n+1)$
Onestamente non riesco a capire le "intenzioni" di questa osservazione!
Cercasi indizi
Risposte
L'intenzione è quella di mostrare che il resto \(n\)-esimo della serie, i.e. \(s_n-l\), è maggiorato in valore assoluto dal valore assoluto del primo addendo trascurato, ossia \(a_{n+1}\).
E questo a cosa serve?
Cado dalle nuvole dato che a lezione il mio professore non ha mai parlato di resti...Non riesco ad immaginarmi la cosa.
Cado dalle nuvole dato che a lezione il mio professore non ha mai parlato di resti...Non riesco ad immaginarmi la cosa.
Innanzitutto, la stima buona è:
\[
|S_N-l|\leq a_N\; ,
\]
ossia a destra ci va il valore assoluto dell'ultimo addendo di \(S_N\), e non quello del primo addendo trascurato (i.e., \(a_{N+1}\)).
Per quanto riguarda l'utilità di tale stima, facciamo un esempio.
Usando il criterio di Leibniz riusciamo a provare che la serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\) (la famosa serie armonica alternata) converge. Con altre tecniche si dimostra che la somma di tale serie è \(-\ln 2\) (il perché lo studierai più avanti).
Supponiamo allora di voler calcolare \(-\ln 2\) con un'approssimazione fissata, diciamo \(\epsilon =10^{-3}\)... Come fare?
Beh, visto che la serie armonica alternata converge proprio a \(\ln 2\) ad un certo punto l'errore che si commette approssimando \(-\ln 2\) con una somma parziale della serie, diciamola \(S_N=\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}\), diventa più piccola di \(\epsilon\) (per definizione di limite); quindi è chiaro che basta determinare l'indice \(N\) in modo che l'errore \(|S_N+\ln 2|\) sia \(< \epsilon\) per dire che il numero \(S_N\) è una soluzione del nostro problema.
A questo punto la stima fornita dall'osservazione ti viene utilissima; infatti, dato che risulta:
\[
|S_N+\ln 2|\leq \frac{1}{N}
\]
per avere \(|S_N+\ln 2|<\epsilon\) basta scegliere \(N\) in modo che \(\frac{1}{N}< \epsilon=10^{-3}\), ossia che \(N>10^3\).
Conseguentemente preso \(N=1001>10^3\), otteniamo che \(S_{1001} =\sum_{n=1}^{1001} \frac{(-1)^n}{n}\) è una soluzione al nostro problema.
Usando Mathematica (o altro software numerico) possiamo facilmente verificare che \(|S_{1001}+\ln 2|\approx 0.0005<0.001=10^{-3}\), quindi la nostra soluzione è corretta.
\[
|S_N-l|\leq a_N\; ,
\]
ossia a destra ci va il valore assoluto dell'ultimo addendo di \(S_N\), e non quello del primo addendo trascurato (i.e., \(a_{N+1}\)).
Per quanto riguarda l'utilità di tale stima, facciamo un esempio.
Usando il criterio di Leibniz riusciamo a provare che la serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\) (la famosa serie armonica alternata) converge. Con altre tecniche si dimostra che la somma di tale serie è \(-\ln 2\) (il perché lo studierai più avanti).
Supponiamo allora di voler calcolare \(-\ln 2\) con un'approssimazione fissata, diciamo \(\epsilon =10^{-3}\)... Come fare?
Beh, visto che la serie armonica alternata converge proprio a \(\ln 2\) ad un certo punto l'errore che si commette approssimando \(-\ln 2\) con una somma parziale della serie, diciamola \(S_N=\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}\), diventa più piccola di \(\epsilon\) (per definizione di limite); quindi è chiaro che basta determinare l'indice \(N\) in modo che l'errore \(|S_N+\ln 2|\) sia \(< \epsilon\) per dire che il numero \(S_N\) è una soluzione del nostro problema.
A questo punto la stima fornita dall'osservazione ti viene utilissima; infatti, dato che risulta:
\[
|S_N+\ln 2|\leq \frac{1}{N}
\]
per avere \(|S_N+\ln 2|<\epsilon\) basta scegliere \(N\) in modo che \(\frac{1}{N}< \epsilon=10^{-3}\), ossia che \(N>10^3\).
Conseguentemente preso \(N=1001>10^3\), otteniamo che \(S_{1001} =\sum_{n=1}^{1001} \frac{(-1)^n}{n}\) è una soluzione al nostro problema.
Usando Mathematica (o altro software numerico) possiamo facilmente verificare che \(|S_{1001}+\ln 2|\approx 0.0005<0.001=10^{-3}\), quindi la nostra soluzione è corretta.
Ah, ho letto una cosa simile su "Che cos'è la matematica" di Courant&Robbins nel capitolo sui limiti...Il ragionamento seguiva la stessa strada delle stime.
Sei stato chiaro e dettagliato, ti ringrazio.
Sei stato chiaro e dettagliato, ti ringrazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo