Confusione problema di cauchy

[mazzy89-votailprof]

ho il seguente problema di cauchy da risolvere:

${(y^{\prime}=sqrt(1-y^2)/(x+1)),(y(1)=1/2):}$

ho una terribile confusione tra chi è la $y(x)$ e chi $x$. Cioè mi spiego. Innanzitutto risolviamo l'equazione differenziale a variabili separabili. il suo dominio è: $(-oo,-1),(-1,+oo)$ x $[-1,1]$. Detto questo mi calcolo le soluzioni costanti ovvero $sqrt(1-y^2(x))=0$ questa viene soddisfatta per $y(x)=1$ e $y(x)=-1$. Domanda la soluzione $y(x)=-1$ va presa dato che nel dominio $-1$ non è incluso?

[gugo82]

Hai appena scritto che il secondo membro è definito per [tex]$(x,y) \in \left( ]-\infty ,-1[\cup ]-1,+\infty[ \right) \times [-1,1]$[/tex].
Visto che i punti del grafico di [tex]$y(x)=\pm 1$[/tex] sono del tipo [tex]$(x,\pm 1)$[/tex], secondo te essi appartengono al dominio o no?

[Luca.Lussardi]

Dipende da che dato iniziale metti: se metti un dato iniziale $y(x_0)=...$ con $x_0>-1$ allora la soluzione $y=-1$ è tale in $(-1,+\infty)$; se invece metti un dato iniziale $y(x_0)=...$ con $x_0<-1$ allora la soluzione $y=-1$ è tale in $(-\infty,-1)$.

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":Hai appena scritto che il secondo membro è definito per [tex]$(x,y) \in \left( ]-\infty ,-1[\cup ]-1,+\infty[ \right) \times [-1,1]$[/tex].
Visto che i punti del grafico di [tex]$y(x)=\pm 1$[/tex] sono del tipo [tex]$(x,\pm 1)$[/tex], secondo te essi appartengono al dominio o no?

si si pensandoci bene le soluzioni appartengono al dominio.confondevo $y$ con $x$

[gugo82]

N.B.: Quelle sono soluzioni singolari della EDO, ma non sono sempre soluzioni del problema di Cauchy. Tienilo presente.

[mazzy89-votailprof]

"gugo82":N.B.: Quelle sono soluzioni singolari della EDO, ma non sono sempre soluzioni del problema di Cauchy. Tienilo presente.

si si questo l'avevo tenuto in considerazione