Confusione con alcune successioni con coseno

[Gmork]

Mi è stato detto che [tex]1-cos(1/n)[/tex] è equivalente a [tex]1/2n^2[/tex], ma non capisco come si può svolgere il limite:

[tex]lim [1-cos(1/n)]/1/2n^2=1[/tex] per far vedere che sono equivalenti

[Paolo902]

Ti ricordi quanto fa $lim_(x->0) (1-cos(x))/x^2$?

Se non ho visto male, quello che stai chiedendo tu è mooolto simile...

[Gmork]

è un limite notevole?

[Paolo902]

Sì, più o meno. Lo puoi dedurre facilmente da quello assai noto di $sinx/x$.

[Gmork]

io so dai limiti notevoli che

[tex]\lim \frac{1-cos(a_n)}{a_n} =1/2[/tex]

però [tex]1-cos(1/n)/1/2n^2=1-cos(1/n)/(1/n)*(1/2n)[/tex] ed il limite mi viene +infinito

[gugo82]

"Orlok":io so dai limiti notevoli che

[tex]\lim \frac{1-cos(a_n)}{a_n} =1/2[/tex]

Beh, semplicemente ti hanno informato male... Guarda bene sul libro.

Poi un piccolo appunto: se scrivi in TeX, assicurati di rispettare la sintassi; altrimenti usa il MathML per inserire le formule.

[Gmork]

[tex]\lim \frac{1-cos(a_n)}{(a_n)^2} =1/2[/tex]


grazie

[gugo82]

Ok!

[Gmork]

Ed è vero anche che [tex](1+sen(1/n))^a[/tex] con a>0 è equivalente ad [tex]a*sen(1/n)[/tex] ?

[gugo82]

No.
E per capire perchè basta calcolare i limiti delle due successioni.

Probabilmente ti sei perso un [tex]-1[/tex] da qualche parte


P.S.: Per ottenere [tex]\sin[/tex] basta scrivere \sin; per la frazione devi usare \frac{numeratore}{denominatore}: ad esempio \frac{1}{n} per [tex]\frac{1}{n}[/tex].

[Gmork]

ah ok grazie per la sintassi.


Dunque... allora forse era [tex][1+\sin(\frac{1}{n})]^a -1[/tex] ad essere equivalente ad [tex]a*\sin(\frac{1}{n})[/tex]

questa è corretta?

[gugo82]

Sì.
Deriva dal limite notevole [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha -1}{x}=\alpha$[/tex].

[Gmork]

Capito tutto, fantastico !!!! Grazie!