Confronto tra infiniti/infinitesimi

[markus988]

Buongiorno a tutti, più che un esercizio vorrei capire un concetto generale. Premetto che non sono certo di quel che dico, posto proprio per capire se è una fesseria o meno:

Per $x to infty$ posso sempre dire che $log(x)$ << $x^n$ << $e^x$ (con quel simbolo intendo infinito di grado inferiore) ? Se ho il limite di un rapporto qualsiasi delle funzioni riportate di sopra a patto che il loro argomento tendi a $\infty$ per il limite considerato posso sempre fare il confronto?

Idem per infinitesimi?

EDIT: mi sa che qualcosa non torna, se ho per esempio l'espenziale di qualcosa che tende a $-infty$ verrebbe 0 e quindi non posso più parlare di confronto tra infiniti, dico bene?

Grazie a tutti

[Emar1]

"markus988":
Per $x to infty$ posso sempre dire che $log(x)$ << $x^n$ << $e^x$ (con quel simbolo intendo infinito di grado inferiore) ?

E' corretto. Occhio che in generale con "<<" si intende "molto minore".

"markus988": Se ho il limite di un rapporto qualsiasi delle funzioni riportate di sopra a patto che il loro argomento tendi a $\infty$ per il limite considerato posso sempre fare il confronto?

Sì. Non importa quale sia l'argomento, che sia $x$, $f(x)$ o $a_n$, se tende ad infinito puoi affermare quanto sopra.

"markus988":
Idem per infinitesimi?

Sì.

"markus988":
EDIT: mi sa che qualcosa non torna, se ho per esempio l'espenziale di qualcosa che tende a $-infty$ verrebbe 0 e quindi non posso più parlare di confronto tra infiniti, dico bene?

Certo devi distinguere tra $infty$ e $-infty$, sono due cose diverse!
Per esempio $e^x$ è un infinito per $x \rightarrow \infty$ ma è infinitesimo per $x \rightarrow -\infty$

[markus988]

Grazie mille.
Tutto chiaro, si può anche chiuder per me.

EDIT: anzi visto che ci sono, se fosse somma o differenza il tutto non è applicabile vero?
Ipotizzo $lim (x to infty) log(x)-x^2$ non vale la questione che $x^2$ è un infinito di ordine superiore e dunque il limite sarebbe $-infty$

[Emar1]

"markus988":
EDIT: anzi visto che ci sono, se fosse somma o differenza il tutto non è applicabile vero?
Ipotizzo $lim (x to infty) log(x)-x^2$ non vale la questione che $x^2$ è un infinito di ordine superiore e dunque il limite sarebbe $-infty$

Diciamo che detta così è scorretta.
Però si può fare così:

[tex]log(x) - x^2 = x^2\left( \frac{log(x)}{x^2} -1\right)[/tex]

a questo punto, $\frac{log(x)}{x^2}$, per $x$ che tende a infinito, tende a 0 per quanto detto prima.

Quindi possiamo dire che il limite tende a $- infty$.

Se sei all'inizio del corso, vedrai che tra breve introdurrete tutti i concetti necessari per trattare bene queste cose (o-piccolo, sviluppi asintotici, etc)

[markus988]

"Emar":Se sei all'inizio del corso, vedrai che tra breve introdurrete tutti i concetti necessari per trattare bene queste cose (o-piccolo, sviluppi asintotici, etc)

Non ho seguito o meglio ho seguito l'altro anno con poca voglia, o piccolo viene introdotto nel caso del resto di peano per i polinomi di taylor (solo in quel caso), le asintotiche equivalenze che usiam noi (non se se sono una limitazione) sono per soli argomenti infinitesimi oppure per le polinomiali.

In fin dei conti però la mia intuizione non è proprio da buttar via alla fine in questo caso "vince" la potenza, che dire non sarà professore di matematica da grande

[Emar1]

"markus988":
In fin dei conti però la mia intuizione non è proprio da buttar via alla fine in questo caso "vince" la potenza, che dire non sarà professore di matematica da grande

No no, certo. Nella pratica si fa così, l'infinito "più grande" e l'infinitesimo "più piccolo" vincono sui loro simili*

Io ti avevo dato una giustificazione un po' più rigorosa del perché, ma quello che hai detto tu era giusto.


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* Il mio prof del liceo lo chiamava teorema di Chuck Norris, perché come lui, gli infiniti più grandi battono tutti quelli più piccoli