Confronto tra infiniti e infinitesimi
Perché per confrontare due funzioni infinite o infinitesime si fa il limite del loro rapporto ?
Il limite l'ho capito, ma perché proprio del loro rapporto ?
E' solo una scelta arbitraria per stabilire una relazione d'ordine o c'è un significato profondo ?
Il limite l'ho capito, ma perché proprio del loro rapporto ?
E' solo una scelta arbitraria per stabilire una relazione d'ordine o c'è un significato profondo ?
Risposte
Bella domanda. Io rispondo così: o fai il rapporto, o fai la differenza. Volendo uno potrebbe anche fare altre cose, ma queste due sono sicuramente le più naturali. Il rapporto misura la "diversità relativa" tra due funzioni: se il rapporto è prossimo a $1$ allora i valori numerici delle due funzioni sono prossimi in scala. Invece se la differenza è prossima a $0$ i valori numerici sono prossimi in assoluto. Ad esempio, il rapporto tra $100$ e $10$ è lo stesso del rapporto tra $1000$ e $100$, ma la differenza nel secondo caso è molto più grande.
A priori non c'è un motivo particolare per privilegiare il rapporto rispetto alla differenza, quando si fanno confronti asintotici. In pratica uno sceglie il rapporto perché prende come funzioni campione le potenze $x^m$: infatti, mentre è immediato studiare il rapporto $x^m/x^n$, è più delicato studiare la differenza $x^m-x^n$. Se volessimo fare un calcolo asintotico basato sulla differenza, invece che sul rapporto, sarebbe naturale scegliere come funzioni campione i monomi di primo grado $a\cdot x$, con $a\in\mathbb{R}$. Tuttavia, in analisi si tende a trascurare le costanti moltiplicative, il che rende naturale il considerare tutti questi monomi come aventi stesso ordine di grandezza: quando vediamo $x$ e quando vediamo $1000 x$ tendiamo a pensare che siano "dello stesso ordine". Per questo motivo un calcolo basato sulla differenza sarebbe inadeguato.
A priori non c'è un motivo particolare per privilegiare il rapporto rispetto alla differenza, quando si fanno confronti asintotici. In pratica uno sceglie il rapporto perché prende come funzioni campione le potenze $x^m$: infatti, mentre è immediato studiare il rapporto $x^m/x^n$, è più delicato studiare la differenza $x^m-x^n$. Se volessimo fare un calcolo asintotico basato sulla differenza, invece che sul rapporto, sarebbe naturale scegliere come funzioni campione i monomi di primo grado $a\cdot x$, con $a\in\mathbb{R}$. Tuttavia, in analisi si tende a trascurare le costanti moltiplicative, il che rende naturale il considerare tutti questi monomi come aventi stesso ordine di grandezza: quando vediamo $x$ e quando vediamo $1000 x$ tendiamo a pensare che siano "dello stesso ordine". Per questo motivo un calcolo basato sulla differenza sarebbe inadeguato.
Adesso mi è venuta in mente una cosa.
Ma se io faccio il limite della differenza di due funzioni infinitesime, non viene sempre 0.
Quindi non mi serve a niente.
Ma se io faccio il limite della differenza di due funzioni infinitesime, non viene sempre 0.
Quindi non mi serve a niente.
Ma neanche se fai il rapporto di due funzioni infinitesime viene sempre $1$.
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