Confronto tra infiniti dei limiti
Credo di avere un problema con alcune tecniche di cui sto prendendo possosso cercando di svolgere quanti più esercizi possibili, vi mostro il mio dubbio sperando che qualcuno di buon cuore abbia voglia di aiutarmi.
$lim x->oo 4^(x+2)/4^(x+1)$
lo svolgimento corretto so che è:
$lim x->oo 4^(x+1)/4^(x+1)*4=4$ (raccoglimento e messa in evidenza)
E' un esempio semplice e stupido, però lo trovo spesso anche in limiti complessi e devo capire bene perché il metodo a seguire sia sbagliato:
SVOLGIMENTO CHE PORTA AD ERRORE:
$lim x->oo 4^(x+2)/4^(x+1)$ sapendo che x va a infinito potrei eliminare la parte numerica (ragionamento: oo+numero = oo+numero 2)
dunque
$lim x->oo 4^(x)/4^(x)$(trascuro i numeri come detto)
però va da sé che venga 1, ed è sbagliato. Eppure ho utilizzato un confronto tra infiniti,qualcuno saprebbe dirmi perché è sbagliato usarla in questo modo. Capendolo non farei più questo errore. Grazie a tutti per l'aiuto e l'impegno a spiegarmi
$lim x->oo 4^(x+2)/4^(x+1)$
lo svolgimento corretto so che è:
$lim x->oo 4^(x+1)/4^(x+1)*4=4$ (raccoglimento e messa in evidenza)
E' un esempio semplice e stupido, però lo trovo spesso anche in limiti complessi e devo capire bene perché il metodo a seguire sia sbagliato:
SVOLGIMENTO CHE PORTA AD ERRORE:
$lim x->oo 4^(x+2)/4^(x+1)$ sapendo che x va a infinito potrei eliminare la parte numerica (ragionamento: oo+numero = oo+numero 2)
dunque
$lim x->oo 4^(x)/4^(x)$(trascuro i numeri come detto)
però va da sé che venga 1, ed è sbagliato. Eppure ho utilizzato un confronto tra infiniti,qualcuno saprebbe dirmi perché è sbagliato usarla in questo modo. Capendolo non farei più questo errore. Grazie a tutti per l'aiuto e l'impegno a spiegarmi
Risposte
Fondamentalmente è sbagliato perché il ragionamento $\pm\infty + a=\pm\infty$, con $a \in \mathbb{R}$, è vero solo al limite a causa delle note regole della retta reale estesa $\bar{\mathbb{R}}$; ma se passi al limite, hai una forma indeterminata $\frac{+\infty}{+\infty}$ e dunque non puoi dedurre quello che hai (giustamente) chiamato procedimento sbagliato.
Facendolo rigorosamente (ossia usando le proprietà delle potenze prima di passare al limite; nota che anche raccogliendo $x$ qua non se ne esce) hai infatti che il limite è $4$ senza ombra di dubbio!
Facendolo rigorosamente (ossia usando le proprietà delle potenze prima di passare al limite; nota che anche raccogliendo $x$ qua non se ne esce) hai infatti che il limite è $4$ senza ombra di dubbio!
Aggiungo anche che quando dici che \(\infty\pm a=\infty\) in realtà stai dicendo che \(a\) è trascurabile rispetto a \(\infty\).
Ora, in generale \(g(x)\) è trascurabile rispetto a \(f(x)\) se \(\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)+g(x)}{f(x)}=1\).
Nel tuo caso le due funzioni intanto non sono sommate e comunque andando a calcolare il limite del rapporto non otterresti \(1\).
(Spero di aver chiarito e non confuso...)
Ora, in generale \(g(x)\) è trascurabile rispetto a \(f(x)\) se \(\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)+g(x)}{f(x)}=1\).
Nel tuo caso le due funzioni intanto non sono sommate e comunque andando a calcolare il limite del rapporto non otterresti \(1\).
(Spero di aver chiarito e non confuso...)
Il "confronto tra infiniti" andrebbe abolito. Stessa cosa per il "confronto tra infinitesimi", chiaramente. Questo post ne è un ulteriore esempio. Sempre meglio fare le cose a mano, raccogliendo a fattore comune, e usando i limiti notevoli o gli sviluppi di Taylor.
"dissonance":
Il "confronto tra infiniti" andrebbe abolito.
Io credo che il problema sia che si crea un linguaggio (spesso molto informale) che ha di conseguenza i suoi limiti (non voleva essere un gioco di parole
).La teoria delle equivalenze, anche se magari non indispensabile (ma certo in alcuni casi molto comoda) andrebbe studiata e imparata non aggrappandosi a questo linguaggio (tipo "questa va ad infinito più velocemente di quest'altro", ecc) ma imparando a chiedersi ogni volta che la si applica "quali dei teoremi della teoria delle equivalenze sto applicando? sono nelle ipotesi per poterlo fare?". Certo, inizialmente potrebbe sembrare che lo sforzo non valga la candela... ma se ben metabolizzata poi è anche utile a semplificare alcuni limiti.
Grazie per le molte risposte,
tuttavia mi sfugge ancora qualcosa, vi faccio un altro esempio:
$lim x->oo log(x+1)/log(x+2)lim x->oo log(x)/log(x)=1$ e qui trasfuro proprio l'1.
Stessa cosa varrebbe se la funzione anziché un logaritmo fosse una radice, ad esempio, ecc eppure mi sembra simile il ragionamento non formale di "va a infinito e trascuro"...
Ripeto che so che sono solo strategie,ma credo siano utili per farsi un po' l'occhio, usando il metodo più esteso anche il primo lo avevo risolto, tuttavia non capisco le differenze alla fine tra quel primo esempio e quest'ultimo
Vi ringrazio molto
tuttavia mi sfugge ancora qualcosa, vi faccio un altro esempio:
$lim x->oo log(x+1)/log(x+2)lim x->oo log(x)/log(x)=1$ e qui trasfuro proprio l'1.
Stessa cosa varrebbe se la funzione anziché un logaritmo fosse una radice, ad esempio, ecc eppure mi sembra simile il ragionamento non formale di "va a infinito e trascuro"...
Ripeto che so che sono solo strategie,ma credo siano utili per farsi un po' l'occhio, usando il metodo più esteso anche il primo lo avevo risolto, tuttavia non capisco le differenze alla fine tra quel primo esempio e quest'ultimo
Vi ringrazio molto
Il fatto è che semplicemente non valgono delle regola del genere:
Il busillis sta nel fatto che l’esponenziale alza talmente tanto l’ordine di infinito che pur partendo da infiniti equivalenti, in generale, si arriva ad infiniti non equivalenti; ed analogamente, il logaritmo abbassa talmente tanto l’ordine di infinito che infiniti dello stesso ordine con un logaritmo all’esterno possono avere argomenti non equivalenti.
Esempio: $f(x)=x^2 - x$ e $g(x)=x^2$ sono infiniti equivalenti per $x -> +oo$ e però $e^(f(x))$ è di ordine inferiore a $e^(g(x))$.
Analogamente, $log x^3$ e $log x$ sono infiniti equivalenti per $x -> +oo$ e però $f(x)=x^3$ è d’ordine superiore a $g(x)=x$.
Se $f(x)$ è un infinito in $x_0$ equivalente a $g(x)$, allora $e^(f(x))$ è in $x_0$ un infinito equivalente a $e^(g(x))$.
Se $log f(x)$ è un infinito in $x_0$ equivalente a $log g(x)$, allora $f(x)$ è in $x_0$ un infinito equivalente a $g(x)$.
Il busillis sta nel fatto che l’esponenziale alza talmente tanto l’ordine di infinito che pur partendo da infiniti equivalenti, in generale, si arriva ad infiniti non equivalenti; ed analogamente, il logaritmo abbassa talmente tanto l’ordine di infinito che infiniti dello stesso ordine con un logaritmo all’esterno possono avere argomenti non equivalenti.
Esempio: $f(x)=x^2 - x$ e $g(x)=x^2$ sono infiniti equivalenti per $x -> +oo$ e però $e^(f(x))$ è di ordine inferiore a $e^(g(x))$.
Analogamente, $log x^3$ e $log x$ sono infiniti equivalenti per $x -> +oo$ e però $f(x)=x^3$ è d’ordine superiore a $g(x)=x$.
Wow era proprio quel che cercavo.
Grazie per la risposta anche a te gugo 82
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