Confronto sulle successioni

[galles90]

Buonasera,

ho il seguente problema,

sia $a_n to a in mathbb{R}$ e $b_n to +infty$, allora definitivamente si ha $a_n
Procedo "penso che si debba fare cosi" cosi per la dimostrazione,
per ipotesi $a_n to a in mathbb{R}$, il che equivale a dire, sia $epsilon>0$, $exists nu_1 in mathbb{N}: a-epsilonnu_1 $
Inoltre, sempre per ipotesi, $b_n to +infty$, il che equivale a dire, sia $K>0$, $exists nu_2 in mathbb{N}: b_n>K, forall n>nu_2$

Sia $nu=max{nu_1,nu_2}$, si ha $forall n>nu$, $b_n-a_n>K-(a+epsilon)$, per avere la tesi occore che $K-(a+epsilon)>0$, cioè $epsilon
Come è andata ?


Cordiali saluti.

[Luca.Lussardi]

Va bene (deve anche essere $K>a$) ma forse puoi risparmiare lettere... Io direi che esiste $n_1\in \mathbb N$ tale che per ogni $n>n_1$ si ha $a_nn_2$ si ha $b_n>a+1$. Dunque per ogni $n>n_1\vee n_2$ si ha $a_n

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[galles90]

Buongiorno, grazie per la risposta. Si potrebbe dire anche $epsilon>0 : K>a+epsilon$

Comunque vorrei aggiungere un'altra generalizzazione, inerente al "confronto-operazione" su i limiti di successione, cioè:

sia $a_n to infty$, sia $m>0$, tale che definitivamente, si abbia $0 ne |b_n|
Procedo cosi:

considerando che $a_n to infty$ il che è equivalente a dire $|a_n| to +infty$, dalla definizione di limite di successione si ha:
$m^2\,\ exists nu in mathbb{N}\ :\ |a_n|>m^2\,\ forall n>nu$.
Inoltre considerando che $0 ne|b_n|1/m$.

Quindi, si ha definitivamente $|a_n/b_n|>m^2/m=m>0$

Come è andata ?