Confronto integrali impropri

Alxxx28
Salve,
ho un dubbio sul teorema in oggetto.
Tra le ipotesi si suppone che $0<=f(x)<=g(x)$ ad esempio in $[a,+\infty)$, oppure definitivamente da un certo punto
(per $c>a$) in poi.

Non capisco perchè $f$ e $g$ devono essere positive. In altre parole, non sarebbe bastata l' ipotesi $f(x)<=g(x)$?
Ci ho riflettuto parecchio su questo fatto, ma non mi è chiaro il perchè.
Se non si suppone che entrambe le funzione siano positive, ovviamente può capitare che $f$ è sempre negativa e $g$ è
sempre positiva. E' questo il caso che crea problemi? Per questione di approssimazione?

Qualcuno può darmi suggerimenti per chiarire il dubbio?
Grazie in anticipo :-)

Risposte
dissonance
Se le funzioni non sono positive tutti i risultati di confronto sono falsi. E' la stessa cosa per le serie numeriche: se tu sai che $0\le a_n \le b_n$ e che $\sumb_n$ converge allora pure $sum a_n$ converge ma se togli l'ipotesi $0\le a_n$ fallisce tutto. Il motivo di ciò è che questi sono essenzialmente criteri di convergenza assoluta, che coincide con la convergenza semplice solo per funzioni e successioni positive o comunque di segno (definitivamente) costante.

Alxxx28
Vuoi intendere quindi che, fallisce tutto perchè poi considerando i valori assoluti si $f$ e $g$, la disequazione non è più valida?

Esempio:
supponiamo che $f(x)=-2x$, $g(x)=-x$

per ogni $x>0$ abboiamo $f(x)<=g(x)$
ma la disequazione $|f(x)|<=|g(x)|$ non è vera

dissonance
Eh, quello è un esempio, si. Ancora più banalmente:

la funzione costante $-1$ è sempre minore della funzione costante $0$, però

$int_{-\infty}^\infty (-1)dx$ non converge, mentre $\int_{-\infty}^\infty 0dx$ si.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.