Confronto integrali impropri
Salve,
ho un dubbio sul teorema in oggetto.
Tra le ipotesi si suppone che $0<=f(x)<=g(x)$ ad esempio in $[a,+\infty)$, oppure definitivamente da un certo punto
(per $c>a$) in poi.
Non capisco perchè $f$ e $g$ devono essere positive. In altre parole, non sarebbe bastata l' ipotesi $f(x)<=g(x)$?
Ci ho riflettuto parecchio su questo fatto, ma non mi è chiaro il perchè.
Se non si suppone che entrambe le funzione siano positive, ovviamente può capitare che $f$ è sempre negativa e $g$ è
sempre positiva. E' questo il caso che crea problemi? Per questione di approssimazione?
Qualcuno può darmi suggerimenti per chiarire il dubbio?
Grazie in anticipo
ho un dubbio sul teorema in oggetto.
Tra le ipotesi si suppone che $0<=f(x)<=g(x)$ ad esempio in $[a,+\infty)$, oppure definitivamente da un certo punto
(per $c>a$) in poi.
Non capisco perchè $f$ e $g$ devono essere positive. In altre parole, non sarebbe bastata l' ipotesi $f(x)<=g(x)$?
Ci ho riflettuto parecchio su questo fatto, ma non mi è chiaro il perchè.
Se non si suppone che entrambe le funzione siano positive, ovviamente può capitare che $f$ è sempre negativa e $g$ è
sempre positiva. E' questo il caso che crea problemi? Per questione di approssimazione?
Qualcuno può darmi suggerimenti per chiarire il dubbio?
Grazie in anticipo

Risposte
Se le funzioni non sono positive tutti i risultati di confronto sono falsi. E' la stessa cosa per le serie numeriche: se tu sai che $0\le a_n \le b_n$ e che $\sumb_n$ converge allora pure $sum a_n$ converge ma se togli l'ipotesi $0\le a_n$ fallisce tutto. Il motivo di ciò è che questi sono essenzialmente criteri di convergenza assoluta, che coincide con la convergenza semplice solo per funzioni e successioni positive o comunque di segno (definitivamente) costante.
Vuoi intendere quindi che, fallisce tutto perchè poi considerando i valori assoluti si $f$ e $g$, la disequazione non è più valida?
Esempio:
supponiamo che $f(x)=-2x$, $g(x)=-x$
per ogni $x>0$ abboiamo $f(x)<=g(x)$
ma la disequazione $|f(x)|<=|g(x)|$ non è vera
Esempio:
supponiamo che $f(x)=-2x$, $g(x)=-x$
per ogni $x>0$ abboiamo $f(x)<=g(x)$
ma la disequazione $|f(x)|<=|g(x)|$ non è vera
Eh, quello è un esempio, si. Ancora più banalmente:
la funzione costante $-1$ è sempre minore della funzione costante $0$, però
$int_{-\infty}^\infty (-1)dx$ non converge, mentre $\int_{-\infty}^\infty 0dx$ si.
la funzione costante $-1$ è sempre minore della funzione costante $0$, però
$int_{-\infty}^\infty (-1)dx$ non converge, mentre $\int_{-\infty}^\infty 0dx$ si.